كيف تصف المعادلات تطور الأوبئة؟ كورونا المستجد COVID-19.. ووهان أنموذجًا

في ظل الوضعية الراهنة، تتكاثف الجهود عبر العالم لاحتواء الانتشار السريع لفيروس كورونا المستجد COVID-19، في هذا الصدد، تعمل منظمة الصحة العالمية (WHO) على نحو مكثف مع شبكة من الباحثين والخبراء عبر العالم لتنسيق العمل العالمي في مجالات عدة: علم الأوبئة والنمذجة الرياضياتية، والتشخيص وعلم الفيروسات والرعاية الصحية والعلاج السريري والعدوى والوقاية والسيطرة والاتصال بالمخاطر(13). 

تصدر منظمة الصحة العالمية (WHO ) تقارير عن جائحة كورونا المستجد، (أكثر من 76 تقريرًا، آخرها تقرير صدر بتاريخ  5 نيسان (أبريل) 2020 (13)، وفي الإطار نفسه اعتمدت هذه المنظمة على بحوث رياضياتية لتوقع واستشراف الأسوأ (11). سنحاول في هذا المقال تبسيط وشرح - مع الالتزام بالدقة العلمية - كيف يمكن للرياضيات أن تتنبأ بسلوك الأوبئة.

في دراسة نشرت أواخر شهر شباط (فبراير) 2020  تحت عنوان "تقدير معدل على مراحل لعدد حالات فيروس كورونا 2019 في ووهان، الصين"(12)، المقال نشر على مجلة Cell Discovery العلمية، التابعة لـ Nature. 

من أجل رؤية أوضح لنتائج الدراسة، سنتحدث أولًا عن مؤشر في علم الأوبئة يدعى نسبة التكاثر الأساسية (Basic reproduction number)، و يُرمز له R₀ وهو رقم خاص بكل وباء يقيس معدل الأشخاص الذين ستنتقل لهم العدوى انطلاقًا من شخص واحد مريض، بحيث إن كل السكان معرضون للإصابة.

ومن فوائد R₀ أنه يخبرنا عن سرعة انتشار المرض وبناءً على ذلك نأخذ فكرة عن الخطورة المحيطة بالسكان. هناك مؤشر آخر يرمز له R_t أو R(t)    (2) ويدعى المتوسط الفعلي لعدد الحالات الثانوية لكل حالة مصابة في اللحظة t، فهو يعني عدد الحالات التي يمكن أن تصاب انطلاقًا من شخص مصاب في اللحظة الآنية، ففي حالة كون جميع السكان معرضين للعدوى فهذا الرقم يمثل تغير قيمة R₀ عبر الزمن. فمثلًا لو نقص عدد الناس الذين يتجولون في الشوارع ومنعت التجمعات فعدد الإصابات التي يمكن أي يسببها شخص مصاب سيقل، لأن الاتصال بالناس سيقل، مما يعني أن قيمة R_t ستتناقص عبر الزمن (4).

وهنا سنكون أمام ثلاث حالات (4):

إذا كان  R₀ < 1: ففي المعدل ينقل الشخص المصاب العدوى لأقل من شخص واحد. ومن المتوقع أن يتوقف المرض عن الانتشار مع الوقت.

إذا كان R₀ = 1: ففي المعدل مصاب واحد ينقل العدوى لشخص واحد. أما انتشار المرض فسيبقى مستقرًا، ولا يتوقع أن تزداد أو تنخفض ​​عدد الإصابات.

إذا كان  R₀ > 1: في المعدل ينقل الشخص المصاب العدوى لأكثر من شخص واحد، ومن المتوقع أن ينتشر المرض على نحو متزايد في غياب التدخل (التلقيح مثلًا، والحجر الصحي...).

حاول الصينيون تكرار تجربة التدخل  نفسها، التي تمت ضد فيروس كورونا القديم سارس  SARS سنة 2002 و2003، حيث كانت قيمة R₀ تناهز الـ2.7 قبل التدخل بإجراءات اعتمدت أساسًا على عزل المصابين وإجراءات أخرى، نجحت في خفض قيمة R_t لـ 0.25 (12).

اعتمادًا على أنموذج رياضياتي خلصت الدراسة إلى سيناريوهين لا ثالث لهما. 

السيناريو الأول: افتراض أن تدابير الوقاية والمكافحة التي تمت بووهان غير كافية (12):

ومن ثم افتراض تطور الوباء مع قيم لـ R₀ أكبر من 1، هكذا سيرتفع عدد الحالات كالآتي:

السيناريو الثاني: افتراض أن تدابير الوقاية والمكافحة التي تمت كافية (12):

هنا نحتاج إلى بعض التفاصيل، يمكن القول إن ووهان مرت بأربع مراحل:

المرحلة الأولى (1 ديسمبر 2019 - 23 يناير 2020):

تميزت هذه المرحلة بتنفيذ عدد قليل من التدابير الوقائية، والسبب يرجع لكون أصل كورونا المستجد covid-19 انتقل من مصدر حيواني للإنسان، ومن غير المرجح أن ينتقل من إنسان لإنسان، لكن يوم 23 يناير 2020 أعلنت منظمة الصحة العالمية أن الفيروس ينتقل من إنسان لآخر (7).

مع نهاية هذه المرحلة سُجّل بين 17,656 وَ25,875 مصابًا مع قيمة تقريبة لـ R₀ قدرت بـ 3.1.

المرحلة الثانية (24 يناير 2020 - 2 فبراير 2020):

في 23 يناير 2020 عُزِلت مدينة ووهان عن العالم الخارجي، وأوقفت كل وسائل النقل داخل المدينة، وألغيت  كل الأحداث مع البدء تدريجيًّا في إجراءات الحجر الصحي.

مع نهاية هذه المرحلة سُجل بين 32,061 وَ46,905  مصابًا مع انخفاض قيمة R_t  للقيمة 2.6.

المرحلة الثالثة  (3 فبراير 2020 - 15 فبراير 2020):  

دخلت للخدمة المستشفيات الجديدة والمستشفيات المتنقلة مع التحاق فرق صحية من مقاطعات أخرى، إضافة إلى ذلك فُرض الحجر الصحي الصارم على كل مبنى مع عزل المخالطين (من كان لهم اتصال مع أحد المرضى).

مع نهاية المرحلة كان عدد الإصابات بين 53,070 وَ77,390 وانخفضت قيمة R_t  للقيمة 1.9.

المرحلة الرابعة (15 فبراير 2020 – إلى الآن ):

هذه الإجراءات ستحتاج إلى مدة ليظهر مفعولها، وافتراضًا أن الذروة ستكون بين 19 وَ22 فبراير، وأن قيمة R_t  ستستمر في التناقص  كنتيجة لهذه الإجراءات بالآتي: 

ربما يخطر الآن ببالك السؤال الآتي: من أين حصلنا على هذه التوقعات؟ وهل هي جديرة بالثقة؟

انتظر عزيزي القارئ، كل هذا نتاج لأنموذج رياضياتي نبنيه من الصفر.

بناء الأنموذج الرياضياتي

لنعتبر (N(t عدد سكان مدينة ما في اللحظة t  بالآتي:

ليكون التغيير لحظيًّا يجب أن يؤول t∆ للصفر، أي يجب حساب النهاية:

هكذا يمكننا أن نرى أن الاشتقاق يصف التغيير الذي يطرأ على متغير ما عبر الزمن، وفي هذه الحالة المتغير هو عدد السكان. لنفترض أن هناك عدوى انتشرت داخل المدينة، يجب أن نتعرف أولًا على آلية العدوى: (4)

هناك العديد من النماذج الرياضياتية، لكننا سنتطرق لأنموذج (9 ,10)SEIR، والذي يعتمد على المقصورات (3) compartmental models، ببساطة لدينا سكان معزولون في مكان ما، يمكن أن نقسمهم إلى أربعة أقسام:

SEIR هو أنموذج رياضياتي يصف كيف تتنقل أعداد من السكان بين المقصورات، لكن هذا الأمر يتم تحت فرضيات عدة، يمكن أن نبسط الأنموذج بالرسم الآتي:

بحيث:

λ: هو المعدل الذي يصبح فيه الأفراد السلماء مصابين بالعدوى — يسمى قوة العدوى.

σ: هو المعدل الذي يصبح فيه الأفراد المصابون بالعدوى قابلين لنقلها للغير.

γ: معدل التعافي هو معدل تعافي الناس من العدوى أو الموت بسببها.

السهم يشير إلى أن الاتصال بفرد من مقصورة ما مطلوب لفرد من مقصورة أخرى للانتقال إلى المقصورة الآتية (13,12). 

يشار إلى أن λ غير ثابتة لكنها مرتبطة بحجم المقصورة "I"، وتحسب كالآتي:

يتناقص الأفراد الأصحاء بمعدل I، الزيادة السكانية الطبيعية بالولادات والتناقص الطبيعي بالوفيات العادية تعدُّ مهملة بالنظر لسرعة انتشار الفيروس، لذا تغير عدد السكان السليمين هو كالآتي:

إذن يتزايد عدد الناس المصابين في مرحلة الكمون بالمعدل نفسه λ(I) S، و يتناقصون بمعدل σ، ومن ثم تغير عدد السكان في مرحلة الكمون (1) هو كالآتي:

 يتزايد عدد الناس المصابين في مرحلة العدوى بمعدل σ ويتناقصون بمعدل γ، فمن شفي أو مات أصبح غير ناقل للعدوى (بمعنى أن من مات لن ينقل العدوى لأنه يُعزل)، لذا تغير عدد السكان في مرحلة العدوى هو كالآتي:

يتطور عدد المتعافين بمعدل σ بدون نقصان، بالآتي:

لنوضح الصورة أكثر نضيف الرسم التوضيحي الآتي:

نضيف لمجموع المعادلات الشروط البدئية، أي عدد السكان السليمين وعدد الإصابات الأولية، حلول هذه المعادلات يمكن أن تصف تطور الإصابات عبر الزمن، بطبيعة الحال هذا الأنموذج مبني على فرضيات من بينها أن المصاب في مرحلة الكمون لديه إمكانية ضعيفة لنقل العدوى للغير، مجموع السكان ليست لهم مناعة ضد العدوى وأيضًا العدوى ذات مصدر حيواني غير وارد (12).

اعتُمد الأنموذج نفسه الذي شُرح أعلاه، فقط المعاملات تتغير قيمتها حسب العدوى:

وقدرت قيمة المعاملات σ، β، γ، λ حسب مقالات علمية نشرت قبل هذا البحث. ومن أجل رؤية كل سيناريو على حدة غيرنا قيمة R₀ مرات عدة.

حسب لجنة الصحة الوطنية لجمهورية الصين الشعبية (8,6)، في آخر تقرير لها يوم 31 آذار (مارس) 2020، عدد الحالات التي سجلت وصلت إلى 65060  بينها 2548 حالة وفاة. وهو ما يتوافق مع توقعات الدراسة. الرياضيات تنبؤنا، وما حدث بووهان أيضًا يخبرنا الشيء نفسه: البقاء في المنزل هو أمثل حل الآن، والخروج فقط للضرورة القصوى إضافة إلى اتباع النصائح الرسمية.

عزيزي القارئ، ابقَ في بيتك، وتذكر دائمًا أن على هذه الأرض ما يستحق الحياة (14). 

المصادر: