برج... من الأسس!

يُعرّف برج الأسس من الرتبة k من خلال:

حيث ↑ هو رمز السهم العلوي لكنوث ( Knuth 1976) و الذي يُعرّف بالعلاقة :

بمعنى آخر فإن الرمز ↑ يعني:

أما:

مثلاً:

بالتالي:

بالإضافة:

استخدم روكر ( 1995 Rucker ) الرمز التالي:

حيث :

حيث:

افترض برج لا نهائي من الأس X معرف كالتالي :

هل نستطيع إيجاد قيمة للمتغير X بحيث تساوي قيمة البرج 2؟

فلنجعل قيمة البرج مساوية للعدد A، أي من التعريف نجد :

A=X^A.

بالتالي لإيجاد X نحصل على:

فإذا كانت A تساوي 2 هذا يعني أن:

ماذا عن A تساوي 4؟

أي نحصل على النتيجة ذاتها . بالتالي نستنتج أن برج الأسس التالي:

أي منهم صحيح؟

يحتاج الطلاب إلى خلفية في النهايات لفهم ذلك ، فبما أن النقطة الحاسمة هي في أن البرج يجب أن يُعرّف بشكل ما، فلا نستطيع كتابة سلسلة لا نهائية من الرموز و نفترض أن لها معنى. حيث تم التوصل الى أن المعادلة ليس لها حل عند A > e و التي لديها تفسير بياني بسيط عند فهم التكرار.

يفسر هذا المثال أيضا مشاكل إيجاد حل لمعادلة بدون معرفة وجود هذا الحل.

المصادر: هنا

و هنا