متسلسلة فورييه، حين يكون لجمال الأصوات سرّ رياضيّ!

انتشر مؤخراً العديد من مقاطع الفيديو التي تعرض أشخاصاً يسمعون لأول، مرّة لاشك أنها تجربة إنسانية مميزة. هل تعلم أن الرياضيات ساهمت في هذا، كيف؟

إن الأصوات التي نسمعها بشكل يومي والتي أغلبها أصوات مركبة (تحتوي على ترددات مختلفة) يمكن تحليلها لمكونات بسيطة (Pure tunes) لكل منها تردد وسعة معينة.

هذه المكونات البسيطة يمكن تمثيلها كتوابع جيبية (استناداً لتردداتها)، فعلى سبيل المثال لدينا في الشكل التالي :

صوت مركب خلال فترة من الزمن تساوي 0.2 ثانية. هذا الصوت يمكن تحليله لأمواج جيبية حيث أن كل موجة لها سعتها ومداها المناسبان:

1- موجة جيببة ذات سعة a وتردد 100 هرتز.

2- موجة جيبية ذات سعة b وتردد 200 هرتز.

3- موجة جيبية ذات سعة c وتردد 300 هرتز.

لاحظ أن الصوت الأصلي المركب ينتج من دمج هذه الأمواج البسيطة السابقة جميعاً.

هذا النوع من تحليل الصوت لمركبات أبسط يستعمل عادة في الأجهزة المساعدة للسمع مما يسهل عملية إزالة الضجيج من الصوت وإلغاء الارتجاع الصوتي وبالتالي تحسين جودة الصوت المستقبَل.

كيف ساهمت الرياضيات بذلك؟

إن تحليل فورييه يعتبر من أهم الطرق المتبعة لتحليل الإشارات المعقدة (أصوات مركبة، توابع دورية..) لأجزاء أبسط، فقد أثبت فورييه (1) أن أي تابع دوري يمكن تمثيله بشكل تقريبي كمجموع لانهائي من دوال الجيب Sine أوالتجيب Cosine (أمواج جيبية بسيطة). هذا التقريب يعرف بمتسلسلة فورييه:

من المهم أن نلاحظ أن هذه المتسلسلة هي تقريب للدالة الأصلية، أي كلما أخذنا حدوداً أكثر من هذه المتسلسلة كلما اقتربنا للدالة بذاتها.

والآن في كل مرّة تستمع فيها لنغمة تُعجبك تذّكر أنه يمكن التعبير عنها بشكل تقريبي كمجموع غير منتهٍ من الدوال الجيبية، وأن الرياضيات قد فسّرت ذلك لك.

ملاحظة:

1- جين جوزيف فورييه ( 1768 – 1830 ): رياضياتي وفيزيائي فرنسي.

2- لقد تم تبسيط بعض المفاهيم والمصطلحات الرياضية حتى يتمكن القارئ غير المختص من فهم هذا المقال، لذلك وجب التنويه أن هذا المقال لايمكن اعتماده باي شكل من الأشكال كمرجع علمي.

بعض المصطلحات العلمية المستعملة:

المصادر: هنا

و هنا

و هنا

و هنا