شريط موبيوس.. حين يجتمع السحر، الفن والرياضيات في شريط واحد

حاز شريط موبيوس على اهتمام الرياضيين وعامة الناس على حد سواء منذ اكتشافه من قبل Möbius في العام 1858م. ومع مرور السنوات، نمت خواص وتطبيقات هذا الشريط، ويعتبر اليوم قسماً مكملاً في الرياضيات، العلم، الفن، الهندسة، الأدب والموسيقى. كما أنّ مصطلح "شريط موبيوس" أصبح مجازاً للتعبير عن الغرابة والتكرار والتجديد.

شريط موبيوس (Möbius strip or Möbius band) هو سطح ذو وجه واحد وبحد واحد فقط، وهوغير موجه ( non-orientable) (ما يعني أنه يمتلك مساراً يجعل المنتقل عليه يعود إلى نقطة البداية بشكل عكس المرآة) .

كما يعتبر شريط موبيوس سطحاً مسطراً (Ruled Surface) (ما يعني أنه يمكننا أن نرسم من كل نقطة على هذا السطح مستقيماً يقع بأكمله على نفس السطح) .

ويمكن صنع شريط موبيوس بأخذ شريط من الورق ثم عقف واحدة من النهايات نصف دورة (180°) ثم لصق النهايتين مع بعضهما.

وإذا زحفت نملة على طول امتداد هذا الشريط فستعود إلى نقطة البداية مجتازةً كامل طول الشريط (على كلا جانبي الورقة الأصلية) دون أن تقطع حافته أبداً.

لاحظ أنه على الرغم من أنّ الشريط الأساسي هو مستوٍ له جانبان، إلا أن شريط موبيوس الناتج له جانب واحد فقط.

حمل الشريط اسم مخترعه عالم الرياضيات الألماني August Ferdinand Möbius في العام 1858 والذي كان رائدا في حقل التبولوجيا هنا ، على الرغم من أنه قد تم اكتشافه بشكل مستقل من قبل عالم الرياضيات الألماني Johann Benedict Listing في نفس العام حيث قام Listing بنشر الموضوع في حين أن Möbius لم يقم بأي نشر حوله.

خواص شريط موبيوس

يمتلك شريط موبيوس العديد من الخواص المثيرة للاهتمام، منها:

1- إذا قمنا برسم مستقيم ابتداء من إحدى النقاط في منتصف الشريط سيعود إلى النقطة التي بدأنا منها لكن طوله سيكون ضعف طول الشريط الأصلي.

2- إذا قمنا بقص الشريط على طول خط المنتصف، نحصل على شريط واحد ثنائي الجانب يمتلك نصفي عقفة وطوله ضعف طول الشريط الأصلي.

3- إذا قمنا بقص الشريط الناتج على طول خط منتصفه نحصل على شريطين مرتبطين ثنائيي الجانب.

4- إذا قمنا بقص الشريط على طوله بمقدار ثلث المسافة عن الحافة، نحصل على شريطين مرتبطين مع بعضهما سندعو أحدهما A والآخر B. ويكون الشريط A هو شريط موبيوس طوله مماثل لطول الشريط الأصلي، أما الشريط B هو شريط ثنائي الجانب مع عقفتين كاملتين (العقفة الكاملة مقدارها 360°) وطوله ضعفا طول الشريط الأصلي.

يمكن رؤية الخطوات السابقة والمزيد في الفيديو التوضيحي التالي

يمكننا أيضا معالجة الحلقة المتشابكة A-B في الشكل السابق لتشكيل شريط موبيوس ثلاثي السماكة كما في الشكل التالي:

لاحظ أنه يمكنك إنشاء نفس السطح بأخذ ثلاثة أشرطة متماثلة وحملها كشريط واحد، ومن ثم عقف إحدى النهايات نصف عقفة ثم وصل الأزواج الثلاثة من الحواف المتطابقة.

يمكننا هنا إجراء بعض التعميمات على خواص القطع للأشرطة المعقوفة:

إذا قمنا بعقف إحدى نهايات شريط من الورق m نصف عقفة (هذا يعني أنه يتم عقفها بمقدار mπ راديان أو m × 180°) ثم قمنا بلصقها مع النهاية الأخرى. فإذا كان m زوجياً، سينتج سطح بوجهين وحافتين، وإذا قمنا بقص الشريط على طول خط المنتصف بين الحافتين، نحصل على حلقتين، كل منهما تملك m نصف عقفة ومرتبطتين مع بعضهما 1/2m مرة. وإذا كان m فردياً، نحصل على شريط أحادي الجانب ذو حافة واحدة. وإذا قمنا بقص هذا الشريط على طول خط المنتصف نحصل على حلقة واحدة ذات 2m + 2 عقفة.

فمثلاً من أجل شريط موبيوس بعرض 1 ودائرة مركزية قطرها 1، مركزه (0,0,0)

فإنه يمكن تمثيله وسيطياً بالمعادلات التالية:

x(u,v)= [R+ s cos(t/2) ] cos(t)

y(u,v) =[R+ s cos(t/2) ] sin(t)

z(u,v) = s sin (t/2)

حيث 0 ≤ u < 2π و −1 ≤ v ≤ 1

الوسيط u يجري حول الشريط كمتسابق على طول خط السباق، الوسيط v ينتقل من إحدى الحواف إلى الحافة الأخرى.

كما أنه من الشائع تمثيل شريط موبيوس في نظام إحداثي اسطواني (r, θ, z) وفق المعادلة:

log (r) sin (θ/2) = 2 cos (θ/2)

مميزة أويلر لشريط موبيوس تساوي الصفر.

وإذا أخذت شريطي موبيوس وأنتجت شكلاً مغلقاً من خلال ضم حدودهما مستخدما شريطاً عادياً ثنائي الجانب، نحصل عندها على زجاجة كلاين.

حلقات بارادروميك paradromic rings

بينت عمليات قص شريط موبيوس، وإعطاؤه عقفات إضافية، ثم إعادة وصل النهايات نتائج غير متوقعة، وسميت بحلقات بارادروميك وقد تم تلخيصها في الجدول التالي:

 

على سبيل المثال، السطر الأول يطابق عملية قص شريط موبيوس على طول خط المنتصف، وعند اكتمال القص ينتج "شريطين ظاهرين"، وعندما نقوم ببسط النتيجة نجد أنه لدينا قطعة واحدة فقط كما هو موضح في العمود الأخير من الجدول.

في السطر الثاني، نقص شريط موبيوس على طوله بمقدار ثلث المسافة عن الحافة، ينتج عن ذلك ثلاث قطع ظاهرية، وعندما نقوم ببسط النتيجة نجد حقيقة أنها شريط موبيوس واحد وعقدة واحدة (قطعتان).

في السطرين الثالث والرابع، نسمح بعمليتي قص، واعتماداً على المكان الذي يتم منه القص، سيكون هنالك في نهاية عملية القص إما أربع أو خمس قطع ظاهرية، وعند بسط النتيجة نجد عقدتين أو ثلاث عقد على الترتيب.

لاحظ أن الجدول لا يحدد المكان الذي يجب قص الشريط منه، فهو ببساطة يعطينا احتمالات متعددة.

تطبيقات شريط موبيوس

في الحقيقة يمكنك مشاهدة شريط موبيوس في كل مكان كرمز لإعادة التدوير.

هذا الرمز المؤلف من ثلاثة أسهم ملتوية متلاحقة على شكل مثلث مع رؤوس مدورة، وهو يعني إعادة استخدام المخلفات لإنتاج مصادر نافعة وإن كانت أقل جودة من المنتج الأصلي.

وغالبا ما يستخدم شريط موبيوس في عمليات الدعاية والإعلان كرمز للتكرار، والتجديد، والتغيير.

شعار معرض EXPO 74

ظهر شريط موبيوس في العديد من أعمال الفنانين وخاصة في أعمال M. C. Escher

هنا

هنا

في الحقيقة أن الصورة الأخيرة ليست شريط موبيوس على وجه الدقة. فلها جانبان، الجانب الفضي مفصول عن الجانب الذهبي باستثناء عندما يتقاطعان في المنتصف، لذا ربما يمكنك أن تدعوه أحادي الجانب.

وغالباً ما يستخدم شريط موبيوس في أعمال التزيين والإكسسوارات.

خاتم للخطبة مصنوع من البلاتينيوم 950 والماس الحر يرمز للانهاية

وفي الأدب وعلم الأساطير، فإن اصطلاح "شريط موبيوس" يستخدم عندما يعود بطل الرواية إلى زمان أو مكان بوجهة نظر بديلة، ذلك أن شريط موبيوس يمتلك خاصة غير الموجه والتي تعني أن الأشياء التي تسافر عبر سطحه تعود إلى نقطة البداية بشكل عكس المرآة.

وفي ألعاب الخفة عادة ما يستخدم السحرة "خدعة أحزمة الأفغاني Afghan Bands trick" مستخدمين شريط موبيوس ذو عقد مختلفة ومن خلال عمليات قص معينة لإنتاج أشكال مختلفة تبهر الجمهور.

أشرطة موبيوس العملاقة تم استخدامها كأحزمة للنقل، وهي تدوم أطول بمرتين من الأحزمة التقليدية ذلك أن كل جانب من سطح الحزام يتلقى نفس القدر من الإجهاد.

كما استخدم شريط موبيوس في صناعة أشرطة التسجيل ذات الحلقة المستمرة (لمضاعفة فترة التشغيل) وفي أشرطة الآلة الكاتبة ومن ثم في أشرطة الطابعات (لإطالة عمر رأس الطابعة).

مقاومة موبيوس هي عنصر دارة إلكترونية يقوم بفصل المقاومة التحريضية لنفسه. نيقولا تيسلا كان قد سجل براءة اختراع لتقنية مشابهة في 1894: "ملف للكهرومغناطيسيات" اخترعه لاستخدامه في نظامه للنقل العالمي للكهرباء بدون أسلاك.

فضاء الترتيب (configuration space) لكل الأزواج غير المرتبة من النقاط المختلفة على دائرة هو شريط موبيوس. ونتيجة لذلك، في نظرية الموسيقى، فضاء كل تآلف (كورد) من نغمتين، والمعروف باسم dyads، تأخذ شكل شريط موبيوس، هذا والتعميمات إلى مزيد من النقاط هو تطبيق هام في المسارات المتعددة orbifolds لنظرية الموسيقى.

# في الفيزياء / تقنيات كهربائية

* مرنان مدمج ذو تردد صدى يعادل نصف تردد أجهزة الملفات الخطية المماثلة.

* موصل فائق مع نقل عالي للحرارة.

# في الكيمياء / تقنيات النانو

* عقد جزئية (molecular knots) مع خواص مميزة.

* محركات جزئية.

* حجم الغرافين (النانو-جرافيت) مع خواص إلكترونية جديدة، مثل المغناطيسية الحلزونية.

* في نوع خاص من العطرية (الأروماتية) "عطرية موبيوس".

* الجسيمات المشحونة والتي تم التقاطها في المجال المغناطيسي للأرض يمكنها التحرك على شريط موبيوس.

المصادر

Clifford A. Pickover(March 2005).The Möbius Strip : Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press.ISBN 1-56025-826-8.