لانهاية...أم -1/12!

انتشرت مؤخراً بين العموم نتيجة رياضية غريبة أحدثت ضجة في عالم الرياضيات، حيث تقول أنه في حال قمت بجمع أعداداً طبيعية متسلسلة 1+2+3+... ، فإن نتيجة هذا الجمع لن تكون اللانهاية، بل ستكون القيمة المحددة 12/1- . الفكرة تم برهانها من خلال فيديو Numberphile في قناة اليوتيوب المشهورة . والذي عرضناه على موقعنا سابقاً:

هنا

معدّو الفيديو يزعمون أنهم برهنوا هذه النتيجة واستندوا في برهانهم إلى كتاب مشهور في الفيزياء الكمومية (Zee quantum field Theory)، وقال معدّو الفيديو أيضاً أنّ هذه المعادلة تُستخدم في مجالات واسعة في حقول الفيزياء الكمومية.

بعض الأشخاص أصابهم الذهول بعد متابعة البرهان حتى أنّه تم نشر مقال حول هذا الموضوع وعن هذه النتيجة الغريبة في جريدة (New York Times) .كيف يمكن أن يكون هذا صحيحاً ؟

لنقم بتحليل الفكرة المطروحة لعلّنا نصل إلى فكرة واضحة عن هذا الموضوع :

قبل كل شيء، إنّ نهاية جمع أعداد متزايدة لا تساوي القيمة 12/1- بأي حال من الأحوال، يمكنك عزيزي القارئ أن تقتنع بهذا بسهولة تامّة عبر جمع أعداد متزايدة في آلتك الحاسبة وسترى أنّك ستحصل في كل مرّة تضيف فيها رقماً الى مجموع أكبر من المجموع السابق، وهذا منطقي جداً و لا يحتاج إلى نقاش :

وهكذا سيكون المجموع Sn أكبر و أكبر كلما جمعنا العدد n فوق المجموع السابق لهذا المجموع Sn-1. فعلى سبيل المثال عندما تكون n=100 000 فإن المجموع

Sn=5000 050 000 ، و لهذا السبب يقول الرياضييون أنّ الجمع المتسلسل للأعداد الطبيعية المتزايدة سيؤدي إلى اللانهاية أو بعبارة رياضية أدق، نقول بأنّ المجموع يساوي اللانهاية .

إذاً من أين أتت هذه النتيجة الغريبة 12/1- ؟.

هذه النتيجة ظهرت حقيقة في أحد أبحاث عالم رياضي هندي مشهور يدعى (Srinivasa Ramanujan) في عام ١٩١٣، و لكن العالم Ramanujan كان يعرف ماذا يفعل تماماً ولديه سبب محدد وواضح لكتابة هذه النتيجة، فقد كان يعمل على ما يعرف بتابع أويلر زيتا (Euler Zeta) ولفهم ماهية هذا التابع دعونا ننظر بقرب إلى مايلي :

...+S=1+1/4+1/9+1/16

من الواضح أن هذا الجمع هو عبارة عن مجموع مقلوب مربعات الأعداد الطبيعية المتسلسلة أي

…+S=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2

وباستخدام قوانين التقريب يمكن الوصول إلى نتيجة محددة لهذا الجمع .

الآن ماذا يحدث اذا استبدلنا القوة 2 بالقوة x ؟

يصبح لدينا

...+S(x)=1+1/2^x+1/3^x+1/4^x

و المساواة السابقة تتقارب إلى قيمة محددة طالما كانت قيمة x أكبر من 1. من أجل x أكبر من 1 فإن قيمة (S(x معرفة ومحددة. ويسمى التابع (S(x بتابع أويلر زيتا (Euler Zeta) والذي تمّت صياغته في القرن السابع عشر على يد الرياضي (Leonhard Euler)

ولكن ماذا يمكن أن تكون النتيجة لو كانت قيمة x أقل من 1، مثلاً ليكن x=-1

لنقم بالتعويض :

...+ 1+2+3+4= ...+S(-1) =1+1/2-1+1/3-1+1/4-1

وبالتالي حصلنا على النتيجة الأساسية وهي نتيجة تسعى إلى اللانهاية و هذا صحيح من أجل جميع قيم x .

ولكن هناك شيء أخر يمكن أن نقوم به باستخدام بعض الرياضيات المتقدمة (بإستخدام التحليل العقدي) أي هناك طريقة للحصول على قيمة محددة للتابع أويلر زيتا (Euler Zeta) من أجل جميع قيم x، وذلك بتعريف تابع جديد (ζ(x وليكن

...+ζ(x)=S(x)=1+1/2x+1/3x+1/4x

فمن أجل التابع (ζ(x سيكون معرف وله قيمة معينة من أجل x أقل أو يساوي 1 . والتابع هنا امتداد للتابع الأصلي، تدعى الطريقة التي تمّ فيها حساب التابع السابق بطريقة الامتداد التحليليّ (analytic continuation)، ويسمى التابع بتابع (Riemann Zeta)، وتمّت صياغته في القرن الثامن عشر من قبل العالم الرياضي (Bernhard Riemann)، حيث قام بابتكار تابع جديد يعطي قيماً منتهيةً ومحددةً من أجل قيمة x أقل أو تساوي1- .

إذا هنا لدينا تابع (ζ(x الذي يتوافق مع تابع أويلر زيتا1 (S(x من أجل قيمة x أكبر تماما من 1 . يعطي التابع زيتا قيمة منتهية من أجل قيمة x أصغر أو تساوي 1 .

إذا ما هي القيمة التي سوف تحصل عليها للتابع زيتا في حال كانت قيمة x=-1 ؟

النتيحة هي :

1/12-=(ζ(-1

الآن إذا اعتقدت أنّ (S(x)=ζ(x من أجل x=-1، عندئذ تحصل على العبارة الخاطئة

1/12-=(1-)S(-1) =...+ 1+2+3+4 = ζ

وهذه هي الطريقة الوحيدة التي تجعل العبارة الرياضية السابقة والغامضة معقولة .

ولكن ماهي الخدعة التي تمّ استخدامها في الفيديو حيث جعلت البرهان على صحة العبارة السابقة سهلاً للغاية؟

كيف قام معدّو الفيديو Numberphile بإثبات أنّ جمع الاعداد الطبيعية المتسلسلة ستؤدي إلى نتيجة 12/1- ؟

الاجابة الحقيقية هي أنهم لم يقوموا بذلك، إن مشاهدة هذا الفيديو هي كمشاهدة ساحر يقوم بإظهار أرنب من قبعته السحرية. إنّ الخطوة الأولى من هذا البرهان هي محاولة إقناع المشاهد بشيء غريب وهو أن:

½ =...+1-1+1-1+1-1

لم يقم معدّو الفيديو بالتركيز على هذه الخطوة مفترضين أنها خطوة بديهية ولا تحتاج إلى شرح، ولكن لنلقِ نظرة أقرب على هذه العبارة الرياضية، لنفترض أنّ المجموع 1-1+1-... له قيمة منتهية ولتكن Z ، لنضف Z إلى Z فنحصل على المجموع اللانهائي

...-Z+Z=1-1+1-1+...+1-1+1

لكن هذا المجموع الاصلي (العادي) يؤدي إلى

Z+Z= 2Z=Z

وبما أنّ Z تساوي ½ وبالتالي فإن ½ =1، وهذا تناقض واضح. وبالتالي فإن افتراض أنّ المجموع 1-1+1-1 +... يساوي ½ غير صحيح.

في الحقيقة كل النتائج في الفيديو وكل السلاسل المطروحة تعتمد على المساواة الخاطئة السابقة. إذاً كيف يمكن تفسير وجود هذه النتيجة الخاطئة في كتاب أساسي من كتب الفيزياء الكمومية كما رأيناه في الفيديو ؟

للإجابة على هذا السؤال دعونا نتجه إلى الفيزياء، إنه حقاً لشيء ممتع أن نبحث في هذا الأمر.

لنفترض أنه لدينا صفيحتان معدنيتان موصولتان، موضوعتين في الخلاء حيث توازيان بعضهما البعض وتفصهلما مسافة ميكرومترية

وبالرجوع إلى الفيزياء الكلاسيكية يجب ألّاتكون هناك أية قوة متبادلة بين الصفيحتين المعدنيتين، ولكن الفيزياء الكلاسيكية لا تأخذ بعين الاعتبار التأثيرات غير المرئية للجسيمات الذرية وتحت الذرية البالغة الصغر.

لندخل إلى مستوى الجزيئات والذرات، لإظهار التأثير المتبادل بين الصفيحيتين يجب أن نستعين بالفيزياء الكمومية التي تخبرنا عن اشياء غريبة جداً ولا منطقية احياناً، أحد هذه الأشياء هي أن الخلاء ليس فراغاً مطلقاً، بل على العكس هو حيز له نشاط وتأثير أيضاً ويدعى بنشاط الجزيئات الافتراضية التي تتأرجح بين الوجود والعدم، وهذا النشاط ينبع ممّا يسمى بنقطة الطاقة الصفرية، وهي أصغر طاقة يمكن لجزئ أن يمتلكها (لا يمكن أن تكون صفرا أبداً) .

عندما تحاول حساب كثافة الطاقة الكلية بين صفيحتين متلاصقتين باستخدام الرياضيات والفيزياء الكمومية سنحصل على قيمة لا نهائية للطاقة 1+8+27+64+...

هذا المجموع غير المنتهي هو ما سنحصل عليه عندما نقوم بتعويض قيمة x=-3 في تابع Euler Zeta :

...+ 1+8+27+64= ...+S(-3) =1+1/2-3+1/3-3+1/4-3

وهذا لسوء الحظ بسبب أنّ المجموع متباعد (أنّه كذلك حتى من أجل قيمة أسرع من (S(-1 )، الذي يؤدي إلى كثافة طاقة غير منتهية. إنه بشكل واضح كلام ليس له معنى .

ولكن ماذا إذا قمت بافتراض جريء وهو أنّ هذا المجموع اللانهائي لتابع Riemann Zeta هو تابع Euler Zeta وذلك بتعويض x=-3 ؟ حسناً ، وبالتالي ستحصل على كثافة طاقة منتهية، وهذا يعني أنه يجب أن تكون هناك قوة جاذبة بين الصفيحيتين المعدنيتين، وهنا أيضاً النتيجة تبدو غير معقولة، حيث تفترض الفيزياء الكلاسيكية عدم وجود أي قوة جاذبة بين الصفيحيتين، وهنا تكمن المفاجأة عندما قام الفيزيائيون بالتجارب الواقعية توصلوا إلى أنه هناك فعلا ً قوة متبادلة موجودة بين الصفيحتين، قيمتها متوافقة تماماً مع تابع Riemann Zeta المعوضة بالقيمة (ζ(-3 ، وهذه النتيجة التجريبية المفاجئة تعرف بمصطلح تأثير كازيمير Casimir effect . اكتشفه الهولندي هنريك كازيمير سنة 1948 ويقول أن لوحين معدنيين غير مشحونين موضوعان في الفراغ وتفصلهما مسافة بضع ميكرومترات و ا يؤثر عليهما أي مجال كهرومغناطيسي خارجي، فعند دراسة تأثير المجالات المتبادلة من الناحية الكلاسيكية يفترض عدم وجود أي قوى متبادلة يمكن قياسها بين اللوحين، ولكن من ناحية كهروديناميكا الكم فإننا نجد أن اللوحين سيتأثران بقوى الفوتونات الافتراضية.

إن الفيزياء الكمومية تقول أن الكثافة الطاقيّة بين اللوحين يجب أن تكون:

...+ 1+8+27+64=(S(-3

وهذا مناقض للواقع، ولكن التجربة تظهر أنه لو اعتمدت (متعمداً الخطأ) هذا الجمع المتسلسل كما في تابع زيتا (ζ(x معوضاً x=-3، ستحصل على القيمة الصحيحة. إذاً يبدو وكأن الطبيعة تتبع الأفكار المشروحة أعلاه ـ إيجاد امتداد لتابع Euler Zeta وادخال قيم لـx أقل من 1 و من خلال عدة عمليات طرح ذكية يمكن الوصول إلى قيمة محددة نهائيةـ وهذا مثير للإعجاب حقاً.

السبب أننا نشاهد في الفيديو المنشور عبر قناة Numberphile وفي كتاب الفيزياء الكمومية (S(-1 ) و (-1)ζ بدلاً من (S(-3 و (-3)ζ، وعندما نتخيل تأثير كازيمير يحدث في بعد واحد (على طول خط مستقيم بدلاً من فضاء ثلاثي الأبعاد) سيتم عندها الحصول على النتيجة لكثافة الطاقة (-1)ζ بدلاً من (-3)ζ

إذاً لماذا قام معدّو الفيديو بنشر هذه النتيجة الغريبة؟

هم بالتاكيد ملمّون بطريقة الامتداد التحليلي الرياضي الذي يجعل التابع محدداً، ولكن لا يمكنهم أن يعرضوا معلومات اختصاصية غير مفهومة من قبل أغلب المشاهدين للفيديو الذي سيبدو مملاً حينها، لذلك أخفوا طريقة الامتداد التحليلي في جيبهم الخلفي واستعانوا بخفة اليد (كما يفعل الساحر تماماً) للحصول على النتيجة نفسها، وبالتالي يمكنهم أن يحصلوا على ملايين المشاهدات وأن يجعلوا أغلب العوام تتحدث عن توابع Zeta وعن الرياضيات وهذا انجاز يجب تهنئتهم عليه حقاً .

إن الخواص الرياضية لتابع Zeta حقاً مميزة وغريبة، وما تم شرحه أعلاه ما هو إلا بداية لقائمة طويلة للخواص الرياضية المذهلة لهذا التابع .

عند طرح قضايا الرياضيات و الفيزياء على العموم دائماً يكون لدينا خيارات حول ماذا يجب أن نقوم بشرحه و ماذا يجب أن نترك من معلومات اختصاصية قد تكون مملة لأغلب الناس، ويجب أن يتم رسم هذا الخط الفاصل بضمير حي و بدقة عالية.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

إن تابع "Euler Zeta" معرف من أجل الأرقام الحقيقية x ذات القيمة أكبر من 1. الأرقام الحقيقية هي جزء من حزمة الأرقام العقدية وبينما الأرقام الحقيقية تتوافق مع كل نقاط خط الاحداثيات الذي يسعى إلى اللانهاية في المستوي الحقيقي تكون الأرقام العقدية متوافقة مع مستوي خاص يحوي على كل نقاط مستوي الارقام الحقيقية، ويسمى بالمستوي العقدي، وكما يمكن استخدام الاعداد الحقيقية كقيم لـ x يمكنك أيضا استخدام الأعداد العقدية كقيم لـx في تابع Euler Zeta.

أحد الأمور المدهشة في العمليات العقدية أنه اذا كنت على معرفة كافية بالتابع الذي تقوم بدراسته و تعرف بعض القيم النهائية باستخدام بعض القيم لـ x في التابع يمكنك عندها وباستخدام بعض التقنيات الرياضية أن تحصل على أي قيمة للتابع باستخدام قيمة عقدية لـx و هذه الطريقة التي تنتقل فيها من نتائج على المستوى الاحداثي الحقيقي إلى نتائج على المستوى الاحداثي العقدي تسمى بعملية الامتداد التحليلي .

و بالتالي فإن تابع Euler Zeta معرف من أجل الأرقام الحقيقية الأكبر من القيمة 1، وفي حال اعتبار الرقم الحقيقي هو رقم عقدي أيضا "موجود في المستوى العقدي" يمكن الوصول عندها إلى تابع عقدي ينتج قيم محددة على كل نقاط المستوي ومتوافق مع تابع Euler Zeta من أجل قيم الأرقام الحقيقية الأكبر من 1 و هذا ما يسمى بتابع Riemann Zeta .

المصدر:

هنا