المجموعات اللانهائية وقابلية العدّ

اللانهاية أكبر من أي عدد كان، فهي مفهوم من الصعب استيعابه، ولكن يوضح العالم الرياضي جورج كانتور Georg Cantor في أواخر القرن التاسع عشر وجود العديد من أنواع الانهاية، وببساطة بعضها أكبر من الآخر.

تظهر اللانهاية في حجوم المجموعات، لكن كيف يمكننا المقارنة بين حجم المجموعات ، ببساطة كالمقارنة بين سلة من التفاح وسلة من البرتقال ، فإن لم تكن تستطيع العد تخرج تفاحة من السلة الأولى وبرتقالة من السلة الثانية وتكرر الأمر إلى أن تفرغ إحدى السلتين أو كلاهما فإذا بقي في السلة الأولى تفاح بعدما فرغت السلة الثانية من البرتقال نقول بأن سلة التفاح ذات عدد أكبر والعكس بالعكس وإذا لم يبق تفاح أو برتقال كانت السلتان متساويتان بالحجم ، ولكن نحن نتعامل مع مجموعات لانهائية الحجم فلا نستطيع عد عناصرها لكن يمكننا ربط كل عنصر من الأولى بالثانية وهي بمثابة إخراجها من المجموعة.

كأبسط مثال: مجموعة الأعداد الطبيعية 1،2،3،4،..‎.. والتي يرمز لها بالرمز N و مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية E

هما مجموعتان قابلتان للعد [1]، كما أننا يمكن أن نربط كل عدد n من N بالعدد 2n من E، وبالتالي المجموعتان متساويتان

بالحجم.

كما أوضح كانتورCantor أنه يوجد أعداد حقيقية بين العددين 0 و 1 أكثر بكثير مما يوجد في الأعداد الطبيعية، قام بذلك عن طريق نقد الفرض، فلو اعتبرنا أنه حجم مجموعة الأعداد الطبيعية مساوي لحجم المجموعة الجزئية [0،1] فإنه يوجد طريقة لربط كل عدد من المجموعة الأولى بعدد وحيد من المجموعة الثانية والعكس بالعكس. ولنعتبر أننا وجدنا هذه الطريقة وربطنا كل عدد من الأولى بالثانية فتشكل لدينا هذه الأزواج وأتينا بهم زوجاً زوجاً وأخذنا عدد مغاير للخانة العشرية الأولى من العدد الأول وعدد مغاير للخانة العشرية الثانية من العدد الثاني وهكذا بعد المرور على جميع الأرقام يتشكل لدينا عدد جديد لكننا لايمكننا ربطه بأي عدد طبيعي لأنهم قد نفذو بالتالي المجموعتان غير متساويتان بل المجموعة الثانية أكبر.

مثال للتوضيح لا الحصر

العدد الأول 0.1234

العدد الثاني 0.0248

العدد الثالث 0.1357

العدد الرابع 0.1415

الخانة العشرية الأولى للعدد الأول 1 نختار عدد مغاير لها مثل 2

الخانة العشرية الثانية للعدد الثاني 2 نختار عدد مغاير لها مثل 3

الخانة العشرية الثالثة للعدد الثالث 5 نختار عدد مغاير لها مثل 1

الخانة العشرية الرابعة للعدد الرابع 5 نختار عدد مغاير لها مثل4

يتشكل لدينا عدد حقيقي جديد0.2314

تسمى هذه العملية بالطريقة القطرية لكانتور Cantor's diagonal argument

بالتالي لم نستطع عد الأعداد الحقيقية، هنا يقدم العالم ماثو بيكر Matthew H. Baker من جامعة جورجيا للتكنولوجيا "Georgia Institute of Technology" في ولاية أطلانتا "Atlanta " برهان بأن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد[1] عن طريق لعبة رياضية على الشكل التالي:

ليكن لدينا لاعبان A وB تبدأ اللعبة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية في المجال [0،1]

أولاً يختار A عدد بين العددين 0،1 وليكن x

ثم يختار B عدد أكبرمن x و أصغر من 1 وليكن y

ثم يختار A عدد بين x ، y

وهكذا يختار كل لاعب في دوره عدد بين آخر عددين تم اختيارهما

هنا نستطيع رسم النقاط التي يختارها كل من A وB ونلاحظ تحليلياً بأن نقاط الاعبين تقترب من بعضهما، و إذا استمرا باللعب إلى اللانهاية يمكننا الاستنتاج بأن نقاط A تقترب من عدد وحيد أكبر من نقاط A وأصغر من نقاط B.

فتقول اللعبة إذا تقاربت نقاط A من عدد ضمن العددين 0..1 يفوز وإلا يخسر

فالاثبات كان على الشكل التالي:

يستطيع اللاعب B الفوز دوماً بمنع اللاعب A من أن يتقارب من أي عدد ضمن المجموعة حيث إذا ما كانت المجموعة قابلة للعد ،فيمكنه عمل قائمة بهذه الأعداد S1،S2،S3… فعندما يحين دوره ينظر للعدد التالي في قائمته فلديه حالتان

إذا كان العدد وليكن S1 أصغر من عدد اللاعب الثاني وليكن A1 فمن المستحيل أن يتقارب له لأن التقارب يجب أن يكون لرقم أكبر من A1 فينتقل للعدد التالي في القائمة

و إذا كان العدد أكبر من A1 فيقوم باختياره بذلك لن يستطيع اللاعب A من التقارب منه

وهكذا لن يستطيع اللاعب A التقارب من أي عدد ضمن المجموعة

ولكن بما أن المجموعة بين العددين 0،1 لن يستطيع اللاعب B الفوز أبداً وذلك لأن الخواص الرياضية للمجال [0،1 ] تسمح دائماً بوجود عدد أكبر وعدد أصغر من العدد الموجود بين أيدينا فبما أن اللاعب B لن يفوز أبداً فالمجموعة غير قابلة للعد.

ولكن من هذه الاكتشافات يظهر السؤال (continuum hypothesis): هل يوجد مجموعة ما S بحيث يكون

Cardinal(N) < Cardinal(S) < Cardinal(R).

بعبارة أخرى، هل يوجد مجموعة ما S حجمها (Cardinal) أكبر من حجم مجموعة الأعداد الطبيعية N (القابلة للعد) وأصغر من حجم مجموعة الأعداد الحقيقةR ‎ (الغير قابلة للعد).

لا يوجد إلى الآن جواب قاطع لهذا السؤال.

[1] المجموعة قابلة للعد "Countable set"هي المجموعة التي يمكننا تعداد عناصرها فأول عنصر في المجموعة الطبيعية هو 1 والثاني 2 وهكذا، لذلك نعتبر مجموعة ما معدودة إذا أمكننا ربط كل عنصر منها بعدد طبيعي لايرتبط إلا بهذا العنصر.

المصادر:

هنا

هنا