نظريَّة العُقَد

بداية هذه النظريّة تعود إلى حوالي عام 1800 على يد الرياضي الألماني كارل فريدريك غاوسCarl Friedrich Gauss. بينما الشكل الحديث لنظرية العقد، يتجذَّر من اقتراح الفيزيائي والرياضي الاسكتلندي ويليام تومسون William Thomson.

باختصار، هي دراسة منحنيات مغلقة ضمن ثلاثة أبعادٍ، والتشويهات الممكن إحداثها عليها دون حدوث أي تقاطع (تداخل) بين جزئين أو أكثر من المنحني، فالـ"شدّ" و الـ"مطّ" و تكبير و تقليص الشكل دون تمزيقه هي تشويهات مثلاً. العقد من الممكن تشكيلها عن طريق مشابكة قطعة من خيط وعقدِها بنمطٍ معيّن حول نفسها ثم وصل طرفي الخيط ببعضهُما. السُّؤال الأوّل الذي يخطر في البال هو فيما إذا كان من السهل عقد وحل مثل هذه المنحنيات؛ بمعنىً آخر: سواء كان (أو لم يكن) بالإمكان تشويه مثل هذه المنحنيات في الفضاء وتحويلها إلى منحني قياسي كدائرة. السُّؤال الثاني هو أكثر عموماً، فيما إذا كان أي منحنيين يمثلان عقدتين مختلفتين أو هما فعلياً العقدة ذاتها، أو بشكل أدق: يمكن تحويل إحدى المنحنيين باستخدام التشويهات المسموحة إلى المنحني الآخر.

الوسيلةُ الأساسيّة لتصنيف العُقد هي إسقاط هذه العقد على مستوي –تصوّر الظّل الَّذي تشكِّلهُ عقدةٌ ما سُلِّط عليها الضوء- آخذين بالاعتبار عدد مرات التقاطع الداخلي في العقدة، مع ملاحظة الاتجاهات في كل تقاطع. إن مقياس تعقيد هذه العقد هو عدد التقاطعات في العقدة الواحدة أثناء التواءها بكافة الطرق الممكنة.

إنَّ أبسط عقدة ممكنة هي عقدة البرسيم Trefoil Knot، التي تملك ثلاثة تقاطعات؛ والغاية من تسميتها بهذا الاسم هو عدد التقاطعات الثلاثة فيها. حتى هذه العقدة البسيطة لها ترتيبان (صورتان) مختلفان، مع عدم إمكانيَّة تحويل (تشويه) أحد هذين الترتيبين إلى الآخر، على الرغم من إمكانية الحصول على أحدهما نتيجة انعكاس الآخر في المرآة. فأحدهما أيمن والآخر أعسر.

إذ لا توجد عقد أخرى بثلاثة تقاطعات، إذ أنَّ أصغر عدد تالي من التقاطعات الممكنة في عقدة واحدة هو أربعة.

إن عدد العقد المختلفة والتي لها عدد التقاطعات ذاته يزداد بزيادة منزلة التقاطع، فعلى سبيل المثال، توجد حوالي 10،000 عقدة ذات 13 تقاطع، وعدد العقد ذات الـ 16 تقاطع يفوق المليون. العُقد ذات منازل تقاطع أعلى يمكن تحليلها إلى نِتاج عقد ذات منازل تقاطع أدنى؛ فعلى سبيلِ المثال العقدة المربعة Square Knot و عقدة الجدة Granny Knot (عقدتان من منزلة التقاطع السادسة)؛ هما نتاجا عقدتي برسيم متطابقتان أو متعاكستان(يمنى وعسراء). والعقد التي لا يمكن تحليلها بهذه الطريقة تدعى عقداً أولية Prime Knots.

من أهم تطبيقات نظرية العقد دراسة المادة الوراثية DNA التي تتواجد في بعض الأطوار على شكل عقد، والتيّ يجب أن يتم حلُّها بوساطة الأنزيمات حتى تخضع للتضاعف والانتساخ. بالتعامل مع الـDNA كعقدة، نستطيع استخدام نظرية العقد لتقدير مدى صعوبة حل خيوط الـ DNA. هذا يساعدنا في تقدير خصائص الأنزيمات المستخدمة لحلِّ خيوط الـ DNA.

رغم البساطة التي يبدو عليها هذا الموضوع، إلا أنه يبلغ من التعقيد الرياضي درجة كبيرة تؤهله أن يكون مرشحاً للقب "أصعب مجال رياضي"، وبنفس الوقت أبسطها للشرح!

المصادر:

1. هنا

2. هنا

3. هنا