احتمال المرور الأوَّل

جذبت ظاهرة المرور الأول، أي وصول جسيم متحرك عشوائيًّا إلى موقع محدد (أو مجموعة مواقع) لأول مرة في وقت محدد، اهتمام الباحثين من مختلف الاختصاصات طيلة عقود وما زالت موضوعًا ساخنًا حتى اليوم. ترجع أهمية هذه الظاهرة إلى دورها الأساسي في العمليات العشوائية التي يتم تشغيلها بواسطة حدث المرور الأوَّل (1).

 تشمل الأمثلة النموذجية: 

• ظاهرة التبريد الفلوري، إذ يتوقف انبعاث الضوء بواسطة جزيء الفلورسنت عندما يتفاعل مع مادة التبريد.
• دمج وإطلاق الخلايا العصبية، إذ تشتعل الخلايا العصبية فقط عندما يصل مستوى الجهد المتذبذب أولًا إلى مستوى معيّن.
• تنفيذ أوامر البيع والشراء عندما يصل سعر السهم لأوَّل مرة إلى عتبة محددة مسبقًا (2-5).

 لنفترض أنَّك مستثمر عصبي يشتري أسهمًا بسعر 100 دولار. ولنفترض أيضًا أن سعر السهم يتقلب يوميًّا بطريقة عشوائية مضاعفة، إذ أنَّه في نهاية كل يوم يتغير سعر السهم وفقًا لعامل ضرب f-1  مقارنةً بسعر اليوم السابق، باحتمال 1/2. يضمن تغيرعامل الضرب بقاء السعر موجبًا. لنكون محددين، ليكن f=90% و لنفترض أنَّه يوجد نقصان في اليوم الأوَّل حيث يهبط سعر السهم إلى 90%. لكونك مستثمرًا عصبيًّا، فأنت تدرك أنه ليس لديك الجرأة للتعامل مع مثل هذه الخسارة وترغب في بيع أسهمك. ومع ذلك، نظرًا للتقلب العشوائي للسعر، فأنت تعتقد أيضًا أنه قد يكون من الحكمة الانتظار حتى يتعافى سعر السهم ويعود إلى سعره الأوليّ قبل بيعه. ستطرح بعض الأسئلة الأساسية على نفسك، كمستثمر متقلب: 

(1) هل سأحصل على نقطة التعادل في النهاية؟

(2) ما المدة التي يجب أن أنتظرها حتى أتعادل؟ 

(3) أثناء مدة الانتظار، ما مدى احتمال انخفاض سعر السهم؟ 

(4) هل من الجيد وضع أمر محدد، أي البيع التلقائي إذا انخفض السهم عن السعر المحدد؟ 

من الواضح أن الإجابة عن هذه الأسئلة ستساعدك على اتخاذ قرار مستنير حول كيفية الاستثمار في سوق الألعاب هذا.

لجعل هذه الأسئلة دقيقة ثم الإجابة عنها لاحظ أن السعر يؤدي مسيرًا (مشيًا) عشوائيًّا  متجانسًا في N حيث   هو الفرق في عدد أيام الصعود والهبوط،  و  على التوالي. بعد   يوم تداول، فإنَّ سعر السهم سيكون fⁿ.

في مثالنا، تبدأ عملية المسير العشوائي عندما  N=0  (السعر 100 دولار)، و بعد يوم واحد تقفز إلى  N=1  والذي يقابل السعر 90 دولارًا. افترض أنك ستصاب بالذعر وتبيع إذا انخفض سعر السهم إلى أقل من نصف قيمته الأولية، أو أنك ستبيع عندما يعود إلى قيمته الأولية. سيحدث البيع بالخسارة في الحالة الأولى التي يكون فيها هناك سبعة أيام أقل من أيام الارتفاع.

يمكننا بعد ذلك أن نسأل، ما احتمال البيع عند نقطة التعادل أو البيع بخسارة؟ كم من الوقت سيستغرق قبل وقوع أحد هذين الحدثين؟ هذه هي أنواع الأسئلة التي ترد عليها دراسة ظاهرة المرور الأوّل.

على نحوٍ عام يمكن إيجاز أسئلة ظاهرة المرور الأوّل وفق الآتي: 

• ما هو احتمال المرور الأول القائم على الوقت F(r,t)؟ 
• ما احتمال أن يضرب الجسيم المنتشر أو المسير العشوائي الموقع المحدد r لأوَّل مرة في الزمن t ؟ 

نناقش فيما يلي العلاقة بين دالة الكثافة الاحتمالية للمرور الأول ودالة الكثافة الاحتمالية للانتشار أو المسير العشوائي. تعرّف P(r,t) دالة الكثافة للجسيم المنتشر أو المسير العشوائي في الموقع  r  خلال الزمن  t  عندما يبدأ من نقطة الأصل. بشكل مشابه، ليكن F(r,t) دالة الكثافة الاحتمالية للمرور الأول، أي احتمال أن يزور الجسيم المنتشر أو المسير العشوائي الموقع  r  لأول مرة في الزمن t مع نفس الشروط الابتدائية. من الأسهل كتابة P(r,t) بدلالة F(r,t) ثم عكس العلاقة لإيجاد F(r,t). كي يكون المسير العشوائي في الموقع  r  خلال الزمن  t، يجب أن يصل إلى الموقع  r  لأول مرة عند خطوة زمنية مبكرة 't ثم يعود إلى الموقع  r  بعد 't - t خطوة زمنية (1).

يمكن التعبير عن هذه العلاقة بين F(r,t) و P(r,t) من خلال علاقة الالتفاف:

حيث  دالة دلتا كرونيكر. تشير دالة دلتا هذه إلى الشرط الابتدائي الذي يبدأ السير عند  r=0 . لاحظ أنه يمكن للجسيم أن يعود إلى الموقع  r قبل الزمن  t  طالما أنه يوجد زمن متبقي 't - t بعد العودة الأولى.

تُحَلُّ معادلة الالتفاف هذه بسهولة أكبر باستخدام الدوال المولدة:

و

بعد ضرب طرفي المعدلة الأخيرة بـ z^t ثم الجمع من أجل جميع قيم  t.

ملاحظة: إذا كنا نتعامل مع مسير (مشي) عشوائي في وقت مستمر، فعندها نقوم أولًا باستبدال المجموع على فترة زمنية منفصلة بتكامل ثم استخدام تحويل لابلاس. ومع ذلك، فإن النتائج المقاربة اللاحقة ستكون متطابقة.

نجد أنّ الدوال المولدة مرتبطة وفق العلاقة (1):

أو:

إذًا، يمكن إيجاد تحويل لابلاس (الدالة المولدة) لاحتمال المرور الأول من خلال تحويل لابلاس لدالة الكثافة الاحتمالية للجسيم المنتشر أو المسير (المشي العشوائي). يذكر أننا تطرقنا في مقال سابق هنا لكيفية حساب دالة الكثافة الاحتمالية P(r,t)  والتي، في حال المشي العشوائي المنفصل، تتبع التوزيع ثنائي الحد و

أما في حالة المشي العشوائي المستمر، فإنها تتقارب إلى التوزيع الطبيعي في النهاية الزمنية الطويلة و

المصادر: