الرياضيات والأوبئة

⏪ معدل انتشار فايروس كورونا المستجد:

سنبدأ أوّلًا بتعريف نسبة التكاثر الأسية للعدوى (R) "نسبة انتقال المرض من شخص إلى آخر"، وهي رقم دال على متوسط  الإصابات التي قد يُحدثها شخص واحد حامل للمرض، وتساعدنا هذه النسبة في فهم ما يحدث مع المرض، فإذا كان المعدل أكبر من واحد فهذا يعني أن المرض في مرحلة الانتشار، أما إذا كان مساويًا للواحد فهذا يعني أن الوباء في مرحلة التسطح أو الثبات، أما إذا كان أقل من واحد فهذا يعني أن المرض في طريقه إلى الانحسار ثم الاختفاء (1).

❀ لكن تعجز نسبة التكاثر الأسية للعدوى (R) أن تخبرنا عن سرعة الانتشار، وذلك لأنها نسبة وليست معدل (المعدل هو: مقدار التغير بالنسبة للزمن) فمثلًا: إذا كانت نسبة العدوى تساوي 2، فهذا يعني أن الوباء يتصاعد وينمو، ولكن لا نعرف تحديدًا ما سرعة انتشاره ونموه (2).

مثلًا: تحتاج العدوى في أمراض كنقص المناعة "الإيدز" (HIV) والسل كي تنتقل من شخص إلى آخر شهورًا أو سنين، فعلى الرغم من أن نسبة العدوى لهم تساوي 2 غير أن سرعة انتشاره بطيئة، أما الأنفلونزا أو الحصبة فسرعة انتشار العدوى بين الأشخاص كبيرة، وبما أن نسبة العدوى تساوي 2 فإن الوباء يزيد وينمو بسرعة كبيرة (3).

⏪ فيما يلي مثالين لمنحنيات معدل انتشار العدوى، ويظهر الاختلاف واضحًا بينهما على الرغم من أن نسبة انتشار العدوى بينهم متساوية وتساوي 2، لكن الفرق في وقت ظهور إصابات جديدة، فمرض نقص المناعة البشرية (الإيدز) يحتاج شهورًا، في حين الحصبة تحتاج أيامًا فقط (3).

⏪ ما معدل سرعة نمو الوباء (λ)؟

معدل نمو الوباء: وسيلة رياضية تستخدم لمعرفة سرعة انتقال المرض التي تتغير فيها عدد الإصابات يوميًّا (3).

❀ يدرس الرياضيون نموَ المرض باستخدام منحنى الدالة الأسية (3):

N عدد الإصابات، الذي يعتمد على الوقت t وحدة قياس الزمن باليوم، وλ هو معدل نمو المرض يوميًّا، وe ثابت رياضي يساوي تقريبًا 2.719 ويسمى ثابت أويلر (3).

❀ وبالنسبة لمثال المنحنيات أعلاه، فإن معدل نمو فايروس نقص المناعة البشرية "الإيدز" هوλ = 0.002 في اليوم، والحصبة λ= 0.06 في اليوم، وهذا يؤدي إلى نتائج مختلفة تمامًا على مدى الشهر المقبل على الرغم من أنّ كلا المرضين في هذا المثال لهما نسبة العدوى نفسها (3).

❀ يمكنك تغيير قيمة λ "لاندا"  في الصورة التفاعلية الآتية لاستكشاف كيف تُغيِّر معدلات النمو المختلفة في شكل انتشار الفايروس وسرعته (3).

في أثناء وباء COVID-19 أُبلغنا يوميًّا عن عدد الاصابات والوفيات الجديدة، وعشنا في رعب مع تزايد الإصابات في جميع أنحاء العالم في شهر مارس وأوائل أبريل، ثم عشنا انخفاضًا في عدد الإصابات (3).

فإذا كان معدل النمو إيجابيًّا فإن عدد الحالات الجديدة كل يوم يتزايد؛ في حين إذا كان معدل النمو يساوي صفر، فعدد الحالات الجديدة ثابت. ولكي يبقى الوباء تحت السيطرة يجب أن يكون معدل النمو سلبيًّا، ومن ثم فإن عدد الحالات الجديدة سيتناقص، وإذا انخفض عدد الحالات الجديدة بنسبة 3٪ عن أمس، فإن معدل النمو هو تقريبًا λ= -0.03 في اليوم (3).

⏪ أيهما أفضل؛ نسبة انتقال العدوى أم معدل النمو؟

كل من نسبة انتقال العدوى R، ومعدل النمو λ، هي أدوات رياضية تساعدنا في فهم نمو المرض وسرعة انتشاره. ولكل منها استخداماته، على النحو المبين أدناه (3):

ومن الصعب تقدير نسبة العدوى ومعدل النمو حين يكون عدد الحالات صغيرًا، فمثلًا: إذا كان معدل الإصابة بالمرض منخفضًا جدًّا، أو إذا كان المجتمع يحوي عددَ سكان قليل، في هذه الحالة ستكون التغيرات اليومية مختلفة عن بعضها اختلافًا كبيرًا؛ مما يمنع إعطاءنا صورة حقيقية للمرض (3).

⏪ كيف تحصل على معدل النمو من نسبة العدوى والعكس؟

هناك علاقة دقيقة بين معدل النمو المرض (R) ونسبة العدوى، ليست علاقة مباشرة لأنها تأخذ في الاعتبار الفرق الزمني بين الإصابة والإصابة الأخرى (3):

T: متوسط الفرق الزمني بين الإصابة والأخرى.

المصادر: