البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟

كتب كاتب الأوراق الملكي في عصر الفراعنة، أحمس Ahmes أي منذ 3550 عامًا، ورقة سجل فيها الكسور التي تحتوي في مقامها على أعداد أولية، وأُعدت هذه الورقة دليلًا على أن البحث عن هذه الأعداد المميزة قديم قدم البشر أنفسهم، واستمر هذا البحث إلى يومنا هذا ليصل بنا إلى أعداد أولية فلكية ومهولة، لكن ما الجدوى من هذه العملية؟

تعرف الأعداد الأولية بأنها مجموعة الأعداد أكبر من الواحد التي لا تقبل القسمة إلا على العدد 1 وعلى نفسها فقط، ويقول الرياضي الأسترالي أدريان دودك Adrian Dudek في مقال نشرته Open Mind: "أعتقد أن الروعة في الأعداد الأولية تكمن في أنها سهلة التعريف، لكنها معقدة جدًّا في التحليل لدرجة أن العديد من الرياضيين يفنون حياتهم للوصول إلى حل لبعض المسائل في المجال".

ويعدُّ أوَّل شخص يبحث في المجال على نحو خاص الرياضي الإغريقي إقليدس، وهو أول من أثبت أن عدد هذه الأعداد غير منتهٍ. وبعد قرن واحد، ابتكر إغريقي آخر اسمه إيروستاتين Eratosthenes طريقة يمكن فيها تحديد الأعداد الأولية في مجال محدد عن طريق شطب المضاعفات.

أوليات مرسين

في نهاية العصور الوسطى، وفي القرن الـ 17 تجدد الاهتمام بالأعداد الأولية، إذ عرَّف الراهب الفرنسي مارين مرسين Marin Mersenne العدد الأولي الذي يحمل اسمه، إذ يمكن تمثيله بواسطة المعادلة:

إذ إنه إذا كان p عددًا أوليًّا، فمن الممكن أن يكون M_p عددًا أوليًّا أيضًا.

وأيضًا في وقت سابق وتحديدًا في 1588، أظهر الإيطالي بيترو كاتالدي Petro Cataldi أن

عدد أولي.

فقد أصبحت طريقة مرسين طريقة مفضلة لدى الرياضيين لاكتشاف الأعداد الأولية، خاصة مع وجود طرائق لفحص الأعداد الأولية مثل طريقة لوكاس-ليمر Lucas-Lehmer، التي سهلت التحقق على نحو كبير. من هذا المنطلق حسب إيدواردو لوكاس Édouard Lucas الفرنسي أكبر عدد أولي حُسِبَ يدويًّا حتى يومنا هذا وهو:

 وهو رقم مكون من 39 خانة.

وفي 1951، استخدمت الحواسيب أوَّل مرة لحساب الأعداد الأولية محققة رقمًا جديدًا كعدد أولي بلغ عدد خاناته 79 خانة، لكن عدد الخانات ما زال يزيد حتى يومنا هذا، إذ وصل عدد الخانات في 1989 إلى 65087 خانة، وبعد عشر سنين حُقق من رقم مرسين M_6972593 بعدد خانات 2,098,960 خانة.

وفي الحقيقة يدين العلم بهذا التطور الكبير في عدد الخانات إلى شخص واحد يدعى جورج ولتمان George Woltman من جامعة ماساتشوستس الأمريكية MIT، وهو مؤسس شبكة الإنترنت الكبير للبحث عن أعداد مرسين Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)، والذي يستطيع الناس المشاركة في بحثه عن الأرقام عن طريق استخدام برنامج Prime95.

ومنذ ذلك الوقت، وجميع الأعداد الأولية الجديدة اُكتشفت عن طريق هذه الشبكة وحدها، وفي هذا اليوم فإن عدد مرسين الواحد والخمسين هو أكبر عدد أولي معروف، واكتشفه باتريك لاروش Patrick Laroche والذي يصل عدد خاناته إلى 24,862,048 عددًا، وهو ما يكلف 10000 صفحة تحتوي خاناته، وما زال البحث مستمرًا.

وقال ولتمان في مقابلة مع Open Mind إن الشبكة ستستمر في إنتاج أعداد جديدة في السنوات المقبلة، وتعتمد السرعة على مدى تطور القدرة الحاسوبية وعدد المستخدمين.

وفي الحقيقة يوجد بعض الجوائز أيضًا، مثلًا تهدي شبكة GIMPS مبلغًا قدره 3000 دولار أمريكي للاكتشافات الجديدة، في حين يُؤهل المشاركون في مشروع ولتمان أو المشاريع المماثلة لجائزة 150000 دولار أمريكي لأي شخص يكتشف عددًا أوليًّا يفوق الـ 100,000,000 خانة.

للاطلاع على شرح عن أعداد مرسين يمكنكم قراءة المقال الآتي:

هنا

استخدامات الأرقام الأولية الكبيرة

لكن من يهتم بهذه الأعداد الضخمة؟

في الحقيقة يهتم عدد من الأشخاص، أولهم طبعًا الرياضيون، إذ تعدُّ هذه الأعداد أحجار البناء لقسم من الرياضيات يدعى بالـnumber theory، ويقول كريس كالدويل Chris Caldwell الباحث من جامعة تينيسي في مقابلة مع Open Mind: إذا أردت أن تعرف مقاومة بناء ما للصدمات والزلازل عليك بدراسة أحجار البناء. أجد الأعداد الأولية جميلة جدًّا لأنها موجودة في كل مكان، واستخداماتها المتعددة، وما يبدو من عشوائية توزعها بين الأعداد، كما أنها في قلب مسائل رياضية عميقة مثل حدسية ريمان (يمكنكم القراءة عنها هنا) وحدسية غولدباخ.

على كل حال ورغم فائدتها العلمية البحتة، فإنها تلزم في مجالات أخرى أيضًا مثل التجارة الإلكترونية.

 في 1977، صمم ثلاثة باحثين خوارزمية RSA للتشفير، وتعتمد هذه الخوارزمية على ضرب معلوم بين عددين أوليين، والذي يمكن فك تشفيره فقط بواسطة الأشخاص الذين يعلمون مركبات هذا الضرب، ويسمى هذه النوع من التشفير باللامتناظر (أو المفتاح العمومي Public Key) ويستخدم في تشفير الاتصالات عبر الإنترنت، مثلًا في تشفير التواقيع الإلكترونية، وهو أكثر تطبيقات هذا النوع من التشفير أهميةً، لكن في الحقيقة لا تستخدم في هذا النوع من التشفير إلا أعداد ببضع مئات من الخانات، ولا يوجد أمل حقيقي في استخدام أكبر الأعداد الأولية المعروفة حاليًّا.

لكن هل يوجد فائدة كبرى من متابعة البحث عن المزيد من الأعداد الأولية؟

لا يعتقد مارتن ويزمان بأهمية متابعة هذا البحث، إذ يقول إنه "ممتع، لكنه غير مهم جدًّا. لكن إذا اكتشف أحدهم طريقة جديدة لفحص الأعداد الأولية المكونة من عدة ملايين من الخانات، حسنًا هذا سيكون مثيرًا للأهتمام". لكن البحث في حدسية ريمان سوف يركز الاهتمام حول الأعداد الأولية في السنوات المقبلة.

في الحقيقة حتى مع ظهور تقنيات أخرى مثل الحوسبة الكوانتية والذكاء الصنعي، فإنه حسب رأي لإتي ويز Ittay Weiss "لن تستخدم الأعداد الأولية المكتشفة بالطريقة نفسها التي تستخدم فيها الأعداد الأولية الكبيرة الحالية".  وليس هذا فقط نتيجة لصعوبة حسابها، بل لأنها لن تقدم أي شيء يمكن استخدامه لم يستخدم بعد، لكن تعتقد ويز أنه ستُستخدم هذه الأبعاد لفحص الخوارزميات الجديدة مثل ما يتم الآن عمله مع عملية حساب أجزاء العدد Pi.

وفي النهاية ووفقًا لرأي ولتمان؛ فإن الهدف من العملية هو المتعة فقط، إذ يجد متعة كبيرة باكتشاف عدد نادر جديد، وربما تكون الرحلة أجمل من الوصول إلى الهدف!

المصدر:

هنا