العدد النيبري

إن الثابت e أو العدد النيبيري كما نسميه هو ثابت رقمي يساوي 2.71828، وهو الأساس للوغاريتم الطبيعي، ولكن من الصعب قليلًا تحديد من اكتشفه، فما نعرفه عن العدد النيبيري اليوم كان حصيلة اكتشافات أربعة علماء؛ هم :جون نابير، وكريستيان هيجنز، وياكوب برنولي، وليونهارد أويلر.

جون نابير هو مكتشف اللوغاريتم الطبيعي، وقد يظن بعض الناس أن هذا تمهيدٌ منطقيٌّ؛ فالثابت e واللوغاريتم الطبيعي وجهان لعملة واحدة.

يأتي الرقم e أولًا في الرياضيات بطريقة بسيطة جدًّا، وقد كان هذا عام 1618 عندما ظهر في جدول عمل نابير في اللوغاريتمات جدولٌ يعطي اللوغاريتمات الطبيعية لأعداد مختلفة، ومع ذلك فإن هذه اللوغاريتمات للقاعدة e لم يتعرف إليها؛ لأنَّ القاعدة التي تحسب اللوغاريتمات فيها لم تنشأ بالطريقة التي يُفكر بها في اللوغاريتمات في ذلك الوقت؛ إذ إن ما فهمه نابير عن حساب اللوغاريتمات ليس ما نفهمه نحن اليوم. وعلى الرغم من أنه أول من وضع بعض قيم اللوغاريتم الطبيعي؛ فإنه لم يعرف الثابت e.

كانت مسألة نابير هي كيف يضرب رقم مكون من 7 أرقام عشرية برقم آخر مكون من 7 أرقام عشرية، ثم يقسّم الناتج على رقم آخر مكون من 7 أرقام عشرية بطريقة مرضية. طبعًا كان هذا لا يؤدى عن طريق الآلة الحاسبة بل عن طريق اليد. فقد كان الحساب عملية بطيئة مملة تنتج الكثير من الأخطاء، وأراد نابير أن يصنع ثورة في طريقة إجراء الحسابات ومن أجل هذا اخترع نابير اللوغاريتم الطبيعي.

جاء بعده العالم كريستيان هيجنز وقارن الثابت e عن طريق التحليل؛ فقد وجد دائمًا أن المساحة تحت الدالة المحدودة بنقطتين على محور x (والنقطة x=1 إحداهما) تساوي دائمًا قيمة لوغاريتمات نابير للنقطة الأخرى. كان هيجنز يبحث خصوصًا عن الحد الذي يجعل المساحة تحت الدالة تساوي الواحد، وهو الذي نعلم الآن أنه العدد e لأن ln(e)=1، إذ إنَّ المساحة المحصورة بين نقطتين 1 وt على محور x يساوي دائمًا لوغاريتم المتغير t؛ فكان هيجنز يدور حول الثابت e لكنه لم يتمكن من الوصول إلى قيمته الحقيقية.

ربما من المدهش أن هذا العمل على اللوغاريتمات قد اقترب من الاعتراف بالرقم e، ولكن e لم يكتشف بواسطة اللوغاريتمات قطُّ؛ بل عن طريق دراسة الفائدة المركبة في البنوك!

ففي عام 1683 نظر جاكوب برنولي في مشكلة الفائدة المركبة، وفي محاولة فحص الفائدة المركبة المستمرة حاول إيجاد نهاية 

عندما تسعى n إلى اللانهاية واستخدام نظرية ذات الحدين لإظهار أن الحد يجب أن يقع بين 2 و3، فمثلًا إذا كان هناك بنك يعطي فائدة 100% ثم أودع إنسان دولارًا في هذا البنك وتركه مدة عام، فكم تصبح قيمته؟ طبعًا حساب هذه القيمة سهل.

فعندما تتضاعف الفائدة بنسبة 100٪ سنويًّا يصبح كل 1.00 دولار 2.00 دولار بعد عام واحد.

ولكن ماذا إذا كان هذا البنك يعطي فائدة بنسبة 50% مرتين سنويًّا؟

عندما تتضاعف الفائدة بنسبة 50% كل 6 أشهر يصبح الـ 1.00 دولار 2.25 دولار بعد عام واحد.

عندما تتضاعف الفائدة بنسبة 25% كل 3 أشهر يصبح الـ 1.00 دولار 2.44 دولار بعد عام واحد.

وإذا أردنا مضاعفة الفائدة شهريًّا يصبح الـ 1.00 دولار 2.61 بعد عام واحد..

وبمضاعفة الفائدة أسبوعيًّا نحصل بعد عام واحد على 2.69 دولار!

وبمضاعفة الفائدة يوميًّا نحصل بعد عام واحد على 2.71 دولار!

وماذا إذا ضاعفنا الفائدة مرتين في اليوم؟ أو أربع مرات في اليوم؟ أو كل ساعة؟

إذا كان من المفترض أن تتضاعف الفائدة على نحو مستمر؛ فإنَّ 1.00 دولار سوف تميل إلى قيمة 2.7182818 $ بعد عام، هذه القيمة أصبحت تُعرف باسم e. Alegraically: وهي قيمة سلسلة لا نهائية

لكن لم يستطع برنولي التوصل إلى هذه القيمة، وما توصل إليه أن القيمة تنحصر بين 2 و3، ولم يعرف أية صلة بين عمله وبين اللوغاريتمات.

أما ليونهارد أويلر فقد كان أول من حسب قيمة الثابت e، وهو من وحَّد مجهودات سابقيه؛ فأدرك أن لوغاريتمات نابير أساسها هو القيمة التى يبحث عنها برنولي وهيجنز، وهو من حدد تلك القيمة بدقة أيضًا.

استنتج أويلر اكتشافات مختلفة بخصوص e وأظهر أن: 

وأن: e هي نهاية عندما تسعى n إلى اللانهاية..

وأعطى تقريبًا لـ e إلى 18 منزلة عشرية: e = 2.718281828459045235

ودون قول من أين جاء هذا من المرجح أنه حسب القيمة بنفسه، لكن إذا كان الأمر كذلك؛ فلا يوجد مؤشر على كيفية تأدية ذلك!!

في الواقع إذا كررنا 20 مرة العملية: فإن النتيجة ستعطي الدقة التي قدمها أويلر!

يقول بعض الناس إن أويلر استخدم الرمز e؛ لأنه الحرف الأول من اسمه، ويقول آخرون إنه أطلق عليه e لأنه الحرف الأول من كلمة exponential التي تعني أسّي، فيما رأى آخرون أن e كان أول حرف متحرك بعد المتغير a، وكان أويلر استخدم بالفعل المتغير a في معادلاته؛ فاختار e لأنه الآتي لـ a، وبغض النظر عن الدافع وراء تسميته فقد اتفق العلماء على الرمز e تخليدًا لذكرى أويلر.

إن المعادلات التفاضلية هي لغة العلم والطبيعة. وقبل اكتشاف المعادلات التفاضلية كان عدد القوانين التي اكتشفها الإنسان محدودًا جدًّا مثل قانون الرافعة أو قانون الطفو لأرخميدس؛ ولكن بعد اكتشاف المعادلات التفاضلية على يد إسحق نيوتن دخلت البشرية طورًا جديدًا وحدثت ثورة فى اكتشاف المعادلات الطبيعية؛ ولذلك تؤدي الدالة دورًا مهمًّا في دراسة الانشطارات النووية وحساب الاهتزازات والثابت e يقع فى قلب هذه الدالة.

المصادر:

1- هنا

2- هنا

3- هنا