الرياضيات > الرياضيات

الاحتمالُ الشّرطيُّ والأحداثُ غيرُ المستقلّةِ

تناولنا في مقالٍ سابقٍ (هنا) مفهومَ الاحتمالِ بأبسط أشكالِهِ، إذ شاهدنا كيفيّةَ حسابِ احتمالاتِ الأحداثِ المُستقلّةِ. ولكن ليست جميعُ الأحداثِ الّتي يُمكن أن تُدرَسَ في مختلفِ مجالاتِ الحياةِ والعلمِ أحداثًا مستقلّةً، وهنا نقدّمُ مفهومَ الأحداثِ غيرِ المستقلّةِ الّتي يعتمد احتمال وقوعِ بعضِها على احتمالِ وقوع بعضِها الآخر.

فلو تناولنا صندوقًا يحوي خمسَ كراتٍ، كُرتينِ زرقاوين، وثلاثًا حمراواتٍ، وسحبنا كرةً من الصّندوق، نلاحظ أنّ احتمالَ سحبِ كرةٍ زرقاءَ يساوي 2/5، لأنّ كرتين فقط من أصل الكراتِ الخمسِ في الصّندوقِ زرقاوان. إن أعدنا الكُرةَ المسحوبةَ إلى الصّندوقِ ثمّ أجرينا سحبًا آخرَ، وتساءلنا عن احتمالِ كونِ الكرةِ المسحوبةِ زرقاءَ، سنلاحظ أنّه يساوي 2/5 أيضًا، لأنّ محتوى الصّندوق قُبَيل السّحب الثّاني مطابقٌ لمحتواه قبيل السّحب الأوّل بسبب إعادتنا الكرةَ المسحوبة إلى الصّندوق، فلا تؤثّر بذلكَ نتيجةُ السّحبِ الأوّلِ على احتمالِ حدثٍ ما في السّحب الثّاني، ما يعني أنّ حدثَ كونِ الكرةِ المسحوبةِ أوّلًا من لونٍ معيّنٍ وحدثَ كونِ الكرةِ المسحوبةِ ثانيًا من لونٍ معيّنٍ هما حدثان مستقلّان احتماليًّا.

ولكن ماذا سيحدث إن لم نقم قبل السّحب الثّاني بإعادة الكرة المسحوبة إلى الصّندوق؟

سيكون محتوى الصّندوقِ قُبيل السّحب الثّاني مختلفًا عمّا كان عليه قُبيل السّحب الأوّل، وبالتّالي سيكون احتمال سحب كرةٍ من لونٍ معيّنٍ مختلفًا عمّا كان عليه في السّحب الأوّل. فإن كانت الكرةُ المسحوبةُ أوّلًا حمراءَ اللّون، يبقى في الصّندوق كرتان زرقاوان وأُخريان حمراوان، وعليهِ فاحتمالُ كونِ الكرةِ المسحوبةِ ثانيًا زرقاءَ اللّون يساوي 2/4، أي 1/2، وأمّا إذا كانت الكُرةُ المسحوبةُ أوّلًا زرقاءَ اللّون، يبقى في الصّندوقِ ثلاثُ كراتٍ حمراواتٍ وكرةٌ زرقاءُ واحدة، وعليه فاحتمالُ كون الكرةِ المسحوبةِ ثانيًا زرقاءَ اللّون يساوي 1/4. نلاحظ هنا أنّ نتيجة السّحبِ الأوّلِ أثّرت على احتمالِ حدثٍ في السّحب الثّاني، ما يعني أنّ حدثَي كونِ الكرةِ المسحوبةِ أوّلًا من لونٍ معيّنٍ وكونِ الكرةِ المسحوبةِ ثانيًا من لونٍ معيّنٍ ليسا مستقلّين احتماليًّا.

ولعلّ التّرميزَ الرّياضيَّ يزيد الصّورةَ وضوحًا؛ ليكن الحدثُ A حدثَ كونِ الكرةِ المسحوبةِ أوّلًا زرقاءَ اللّون، وليكن الحدث B حدثَ كونِ الكرةِ المسحوبةِ ثانيًا زرقاءَ اللّون. نطلق مُسمّى الاحتمالِ الشّرطيّ على احتمالِ وقوع الحدثِ B علمًا أنّ الحدَثَ A قد وقع، ونرمّزه P(B|A) . بحسب ترميزِنا نلاحظُ في مثالنا أنّ P(A)=2/5، وأنّ P(A)=1/4.

يُحسب احتمالُ سحبِ كُرتين زرقاوين كما في الصّورة أعلاه، ويساوي هذا الاحتمال 1/10. وبما أنّ وقوعَ الحدثِ A والحدثِ B - ما يُرمَّز بالشّكلِ A∩B - يعني كونَ الكرتينِ المسحوبتَينِ زرقاوَي اللّون، فإنّنا نستطيع أن نكتب:

P(A∩B)=P(A).P(A)

وبما أنّ الحدثَ A هنا ليس حدثًا مستحيلًا فهذا يعني أنّ P(A)≠0 ، وبالتّالي نستطيعُ قسمةَ طرفي المعادلةِ أعلاه على هذا الاحتمالِ، فتنتج العلاقة:

P(B|A)=(P(A∩B))/(P(A))

ومن خلالِها نستطيعُ حسابَ الاحتمالِ الشّرطيّ، ولكن ما الّذي يعنيه ذلك وكيف نستفيد منه حقًّا؟

لنفترض أنّ لدينا خطّ إنتاجٍ ما، وأنّ القطعَ النّاتجة منه يُعتبر 90% منها نخبًا أوّلًا ممتازًا، و2% منها نخبًا ثانيًا متوسّطَ الجودة، و8% منها نخبًا ثالثًا رديئًا، وأنّ القطعَ جميعَها تمرّ على آلة فحصٍ أوتوماتيكيٍّ تمرّرُ قطعَ النّخبِ الثّالثِ إلى الإتلافِ، وتسمح بمرور باقي القطعِ إلى مرحلةِ التّعبئة. في هذه الحالة، ستكون البضاعة المُعبَّأة خليطًا من قطع النّخبين الأوّل والثّاني، ولمعرفة جودة هذه البضاعة ينبغي حسابُ نسبة قطعِ النّخب الأوّل في البضاعة، ولكن ليست هذه النّسبةُ إلّا احتمالَ كونِ القطع المُعبَّأةِ من النّخب الأوّلِ.

لنفرض أنَّ الحدثَ A يُعبّر عن كون القطعةِ ممتازةً، والحدثَ B يُعبّرُ عن كونِها متوسّطةَ الجودة، والحدثَ C يُعبّرُ عن كونِها رديئةً، عندها يمكن أن نكتب:

P(A)=0.90 P(B)=0.02 P(C)=0.08

ولنفرض الآن أنَّ الحدث D يُعبّرُ عن تجاوُزِ القطعةِ آلةَ الفحصِ إلى مرحلةِ التّغليفِ، ولكنّ هذا الحدثَ يعني بالضّرورةِ أنّها إمّا ممتازةٌ أو متوسّطةُ الجودة، وبالتّالي يمكنُ حساب احتمالِ وقوعِه بجمع احتمالَي وقوع كلٍّ من هذين الحدثين*:

P(D)=P(A)+P(B)=0.92

ولحسابِ احتمالِ كونِ القطعِ الّتي اجتازت الآلةَ إلى مرحلةِ التّغليفِ قطعًا ممتازةً نكتب:

P(A|D)=(P(A∩D))/(P(D))

ولكن الحدث A∩D يعني أنّ القطعةَ ممتازةٌ وأنّها تجاوزت آلةَ الفحصِ إلى مرحلةِ التّغليفِ، ولكن بما أنّ القطع الممتازةَ جميعَها تتجاوز آلة الفحص إلى مرحلة التّغليف، فهذا الحدث يكافئ الحدث A، وبالتّالي لهما احتمالان متساويان. لذلك نستبدلُ P(A∩D) في المعادلة أعلاه بـ P(A) ، فيصبح لدينا:

P(A|D)=(P(A))/(P(D))=0.9/0.92=0.9782

وهكذا نعلمُ أنّ بضاعتَنا المعبَّأةَ تتألّفُ من قطعٍ ممتازةٍ بنسبة 97.82% ، وقطعٍ متوسّطةِ الجودة بنسبِة 2.18% .

وتطبيقاتُ الاحتمالِ الشّرطيِّ لا تنحصرُ في هذا المجالِ فقط، تابعونا في مقالٍ قادمٍ نناقش فيه الاحتمال بشكلٍ أعمقَ، ونرى فيه شيئًا من هذه التّطبيقات.

* نلاحظ أيضًا أنّ الحدث D -أي الحدث الّذي يُعبّرُ عن تجاوُزِ القطعةِ آلةََ الفحص إلى مرحلة التّغليف- يعني بالضّرورة أنّ القطعة لم تُمرَّر إلى الإتلاف، وبالتّالي ليست رديئةً، ولهذا يدعى هذا الحدث بالحدث المُتمّم لحدثِ كونِ القطعةِ رديئةً، إذ لا يمكنُ أن تكونَ القطعةُ رديئةً وغيرَ رديئةٍ في آنٍ معًا، وعادةً ما يُكتب الحدث المُتمّم لحدثٍ ما بدلالة هذا الحدث، أي كان بإمكاننا بدلًا من كتابة D أن نكتب 'C ، أو C¬ ، ويمكنُ ببساطةٍ حسابُ احتمالِ أيّ حدثٍ متمّمٍ كما يلي:

P(¬C)=1-P(C)

بإمكانك التأكّد من ذلك بمطابقة النّتيجة عند استخدام هذه المعادلة مع النّتيجة في المقال.

المصادر:

هنا