الرياضيات > الرياضيات
سلسلة أحجيات أويلر: مسألة جولة الحصان
إنّ هذه المسألةَ من سلسلة أحجيّاتِ أويلر تتعلّقُ أيضاً بإيجادِ طريقٍ، ولكن هذه المرّة على رُقعةِ الشّطرنجِ. وقد قال أويلر عن ذلك:
"لقد وجدت نفسي يوماً ما في شركةٍ، في مناسبةٍ للعبةِ شطرنج، وقد اقترح أحدهم المسألة التّالية: أن تجول المربّعات على رقعة الشّطرنج كافةً بحجر الحصانِ دون أن تمرَّ على نفسِ المربّع مرّتينِ، مع البدء من مربّعٍ ما."
هذه جولة لحصان كما ظهرت في ورقة أويلر البحثية، حيث قام أويلر بعدّ المربعات بالترتيب الذي سيتم عبور الحصان فيه لها، ولكننا قمنا بتقفي أثر الجولة باللون الأزرق ليكون واضحاً أكثر.
قال أويلر عن هذه المسألة أنّها "مسألةٌ تبعث على الفضولِ لأنّها لا تخضعُ لأيِّ نوعٍ من التّحليل." ولكنّه قام بتحليلها، وكان هو الشّخصُ الأوّلُ الّذي يفعل ذلك بطريقةٍ منهجيّةٍ. لقد أتى بطريقةٍ لبناءِ جولاتِ الحصان بحيث، كما ادّعى، تسمح لكم باكتشافِ أيِّ عددٍ من الجولات. لأنّه "بالرّغم من أنّ عددها محدوداً، ولكن من الرّائع أنّنا لن نستنفذها جميعاً."
إنّ هذه التّصريحاتِ متناقضةً مع معايير الرّياضيات الحديثة. فإن كان باستطاعتكم أن تكتشفوا طرقاً لا حصر لها، فمن المؤكد أنّ عددها إذاً لا نهائيٌّ. ولكنّنا نعلم ما كانَ يعنيه أويلر: عدد الجولات ضخمٌ جداً، وقد يكون أيضاً لانهائيّاً. ولكي نتمكّن من إحصائها سنحتاج إلى حاسوبٍ. وقد قام بذلك العالِمَين Martin Löbbing وَ Ingo Wegener حيث قاما بِعَدِّ تلك الجولات الّتي يبعد فيها المربّع الأخيرُ عن مربّعِ البدايةِ بمقدارِ قفزةِ حجرِ حصانٍ واحدةٍ. وقد ادّعوا أنّ هناك 33,439,123,484,294 جولةً تحقّق الشّرطّ السّابقَ (في الحقيقة، لم يكن هدفهم عدُّ الجولاتِ، بل إثباتُ جدوى طريقة عدٍّ معيّنةٍ).
ولكن سرعان ما تمت الإشارة إلى أنَّ هذه النّتيجةِ لا يمكن أن تكون صحيحةً، فعدد جولاتِ الحصان يجب أن يكون قابلاً للقسمةِ على العدد 4، والعدد 33,439,123,484,294 لا يقبلُ القسمةَ على 4. إنّ الإجابة الصحيحةَ هي 13,267,364,410,532. وهو أكبرُ من قطرِ المجموعةِ الشّمسيّةِ مُقاساً بالكيلومترات. أمّا عدد جولات الحصان الّتي لا يمكن أن تتحوّل إلى حلقاتٍ فقد حسب عددها Alexander Chernov في عام 2014 وقُدِّرَت بـ 19,591,828,170,979,904 جولةً. ولكن لم يتمّ التّأكد تماماً من أنّ هذا العددِ صحيحٌ بما يكفي.
إن كانت لغتكم الفرنسيّةُ جيّدةً يمكنكم قراءة مقال أويلر الأصليّ: Euler archive (article E309).
أو إن أردتم مقالاً أبسطَ يمكنكم القراءة عن طرق أويلر في بناء جولاتِ الحصان في هذا المقال: MAA online article.
المصدر: