الرياضيات > رياضيات في دقيقة
سلسلة رياضيات في دقيقة: متتالية فيبوناتشي
متتالية فيبوناتشي هي واحدةٌ من أشهرِ المتتاليات العدديّةِ، حدودها الأولى:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
بملاحظةٍ بسيطةٍ نجدُ أنّ كلَّ حدٍّ من حدودِ المتتاليةِ (بدءاً من الحدِّ 2) ينتج عن جَمِعِ الحَدَّينِ السّابقَين له، مثلاً:
2=1+1
3=1+2
5=2+3
8=3+5.
وهكذا. وبالتّالي فإنّ العددَ التّالي في المتتاليةِ أعلاه هو 55+89=144، ونظريّاً فإنَّ هذه المتتاليةَ تسعى نحو اللّانهاية.
من أين جاءت فكرةُ هذهِ المتتالية؟
سُميَّت فيبوناتشي نسبةً إلى الرّياضي ليوناردو فيبوناتشي الّذي عاش في القرنِ الثّاني عشر والّذي كانَ يهتمُّ بمسائلَ غريبةٍ. بدأ فيبوناتشي فكرتَه بتخيُّلِ أنَّ لديه زوجاً صغيراً مختلفَ النّوعِ من الأرانبِ الصّغيرةِ ( ذكرٌ وَأنثى).
بعدَ شهر كَبِرَ الأرنَبَان طبعاً.
وبعدَ الشّهرِ الثّاني أنجبَ الأرنبان أرنَبَين صغيرَين جديدَين مُختلفَي النّوع أيضاً.
بعدَ الشّهرِ الثّالثِ أنجبَ الزّوجُ الأوَّلُ زوجاً جديداً (ذكروَأنثى) وكَبُرَ الزّوج الثّاني، بالتّالي أصبح لدينا ثلاثُ أزواجٍ من الأرانب.
مرّةً جديدةً وبعدَ شهرٍ آخرَ وُلِدَ لكلِّ زوجٍ كبيرٍ زوجاً صغيرأ مُختلف النّوع وكَبِرَ كلُّ زوجٍ صغيرٍ.
طرح فيبوناتشي السّؤال التّالي: كم سيصبحُ عددُ أزواجِ الأرانبِ بعدَ سنةٍ إذا كانتِ الأرانب لاتمرض ولاتموت وكلُّ زوجٍ بالغٍ يَلِدُ شهرياً زوجاً مختلطاً من الأرانبِ والزّوجُ الصغيرُ يحتاجُ لشهرٍ حتّى يصبحَ قادراً على الإنجاب.
لاحظ فيبوناتشي أنّ عددَ أزواجِ الأرانبِ البالغةِ في أيِّ شهرٍ وليكن
كما أدركَ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ الصّغيرةِ في شهرٍ ما
ولذلك، فإنّ العدد الكليَّ لأزواجِ الأرانبِ الكبيرةِ والصغيرةِ في شهرٍ معيّنٍ هو مجموعُ إجماليِّ عددِ أزواجِ الأرانبِ في الشَّهرَين السّابقَين.
بالتّالي بدءاَ من زوجٍ واحدٍ ستتولد متتاليةٌ مطابقةٌ للمتتالية الّتي عرضنا حدودَها في بدايةِ المقالِ وعليهِ وَبعدَ 12 شهراً سنجدُ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ أصبحَ 144 زوجاً.
ثمّ ماذا؟
طبعاً، لاتتكاثرُ الأرانبُ في الطّبيعةِ بهذا الشَّكلِ المثاليِّ بسببِ الأمراضِ والموتِ وعوامل أخرى كثيرة، ولكن رُغمَ ذلك يمكنُ أن نجدَ متتاليةَ فيبوناتشي في أماكنَ كثيرةٍ، على سبيلِ المثالِ في حلقاتِ الحلزوناتِ الطّبيعيّةِ وفي نموِّ النّباتاتِ وفي شجرةِ عائلةِ النّحلِ، وأيضاً في رقمٍ شهيرٍ جداً يُدعى النّسبة الذّهبيىّة، يمكن أن تقرؤوا عنه المزيد من هنا (هنا).
المصدر: