سلسلة رياضيات في دقيقة: النّسبة الذّهبيّة

استمع على ساوندكلاود 🎧

دُرِسَت النّسبةُ الذّهبيّة لأوّلِ مرّةٍ في العصرِ الإغريقيّ، وَعُرِّفَت هندسيّاً كما يلي : عند تقسيمِ خط ٍأو شَريط ٍ إلى جزأين غيرِ متساويَين بحيثُ تكون نسبةُ طولِ الشّريط ِالكليِّ إلى طولِ الجزءِ الطّويلِ تساوي نسبة طولِ الجزءِ الطّويلِ من الشريط إلى طولِ الجزءِ القصيرِ منهُ.

تقسيم الخطِّ الكليّ إلى قسمين، طويلٌ وقصيرٌ طولاهما على التّرتيب a وَ b

بحيث نسبة (a+b) إلى a تساوي نسبة a إلى b

لنرمز للنّسبةِ الذّهبيّة ِ بالرّمز ∅ . نستطيعُ استنتاجَ قيمة ∅ بسهولةٍ كما يلي:

بفرض قسّمنا الشّريطَ إلى قسمين، الأطولُ طولُه a والأقصرُ طولُه b. عندئذٍ ستكون ∅ مساويةً للنّسبة ِ بين طولِ الشّريطِ الكليِّ (a+b) وَ a، ومساويةً أيضاً للنّسبة بين a وَ b ، أي:

يمكن أن يُكتب الطّرف الأيسر من العلاقةِ السّابقةِ بالشّكل:

ومقلوب الحدَّين الباقيين هو:

بالتّالي وبما أنّ يُصبح لدينا :

بِضربِ حدودِ العلاقةِ الأخيرةِ بـ ∅ نجد:

وهي معادلة من الدّرجة الثّانية نحلها باستخدام المُميّز ∆ فنجد أنّ الجذرَ الموجب للمعادلةِ هو:

للنّسبةِ الذّهبيّةِ الكثيرُ من الخواص، ولعلّ أكثرها شُهرةً هو صِلتها بمتتالية فيبوناتشي (Fibonacci sequence).

هذه المتتالية الشّهيرة تبدأ بحدَّين متساوِيَين ويساويين العدد 1. وكلُّ حدٍّ من الحدودِ التّالية ينتج عن ناتج جمع الحدَّين السّابِقَين له. أي هي :

...,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89

طبعاً المتتاليةُ غيرُ منتهيةِ الحدودِ. الآن بتقسيم كلِّ حدٍّ من حدود المتتالية على الحدِّ الّذي يسبقه، سنحصل على المتتالية:

الرَّسمُ التّالي يعبِّرُ عن آخرِ متتاليةٍ بيانياً:

النّسب المتتالية النّاتجة عن متتالية فيبوناتشي

بمتابعةِ الحدودِ في المتتاليةِ الأخيرةِ سنجدُ أنَّها تقتربُ من قيمةٍ مُحدَّدةٍ هي تماماً النّسبةُ الذّهبيّةُ.

سنعرفُ المزيدَ حول متتالية فيبوناتشي والنّسبةِ الذّهبيّةِ في مقالاتٍ لاحقةٍ، بما في ذلك ظهورها في الطّبيعة وصلتها المفترضة بعلمِ الجمال.

المصدر:

هنا