الرياضيات > الرياضيات
مسألة يفهمها تلميذ ويعجز العالِم عن إثباتها
تنصُّ المسألةُ التي نتحدثُ عنها على ما يأتي؛ خُذْ أيَّ عددٍ صحيحٍ n وعوِّضهُ في المعادلةِ الآتية:
ثُمَّ عوِّض الناتج فيها على نحوٍ متتالٍ.
حتى نفهم ما هي هذه المسألة نختار عدداً ما وليكن 5، إنَّ هذا الرقم فردي ومنه ستكون صورة هذا الرقم وفقَ الدالة السابقة تساوي:
(5*3 +1 ) /2 = 8
والناتج 8 هو عددٌ زوجيٌّ، وبذلك صورته وفق الدالة السابقة نفسها هي :
8/2=4
بالتعويض مرة ثالثة نحصل على الرقم 2 وأخيراً نحصل على الرقم 1.
تنص المسألة أنَّ نهاية أي عدد صحيح بعد سلسلة من التعويضات في الدالة السابقة ستنتهي إلى الرقم 1. المُعضلة هنا أنَّه لم تثبت للأرقام الصحيحة جميعها، ولكن الأرقام المُجرَّبة جميعها تنتهي إلى الرقم 1. وحاولَ الكثيرُ من المبرمجين اكتشافَ عدد صحيح لا ينتهي إلى النتيجة نفسها ولا جديد حتى اليوم.
قد يتساءل القارئ، لماذا اهتمَّ جمعٌ كبيرٌ من العلماءِ بمثلِ هذهِ المسألةِ؟ و ما تطبيقاتُ هذه مسألة؟
حسنًا، ليس لهذه المسألة تطبيقٌ عمليٌّ مباشرٌ ولكنْ مما لا شكَّ فيه أنَّ التفكيرَ بمثلِ هذه المسائل يفتح أبوابًا لنظرياتٍ جديدةٍ ويعمِّقُ فهمَنا للأعداد والعلاقات المعرَّفة عليها. على سبيلِ المثالِ نشأ علمُ التفاضل على يد إسحاق نيوتن عندما حاول الإجابة عن السؤال عن سبب أنَّ الكواكبَ تسلكُ حول الشمس المداراتِ التي تأخذها. وأنَّ نظريةَ الشبكاتِ قد نشأت عندما أرادَ لويناردو أويلر الإجابةَ عن سؤالٍ طرحَهُ مُمارسو رياضة الصباح في قريةٍ صغيرةٍ
هنا .
لنَعُدْ إلى مسألتِنا، ولنأخذ عدداً آخر، الرقم 7 مثلاً، يمكنك أن تحاولَ بنفسِكَ القيام بالعملياتِ الحسابية وستجدُ النتيجةَ الآتية:
نلاحظُ أنَّ عددَ الخطواتِ للوصولِ منَ الرقم 7 إلى الرقم 1 أكبر من عدد الخطوات التي احتاجها الرقم 5.
أبحاث عن هذه المسألة :
لأهمية هذه المسألة كان لها عدةُ أسماء منها:
بديهية كولاتز (Collatz Conjecture)، بديهية أُولام ( Ulam Conjecture )، أو مسألة سيراكوس (Problem Syracuse) وقدْ أطلقَ عليها بعضُ الدارسين متتالية البَرَدِ (Hailstone Sequence) وذلك لأنَّ الأرقام جميعها التي تدخلُ في هذهِ المتتاليةِ تزدادُ وتنقصُ حتى تصِلَ إلى الرقمِ 1 كما قطرة الماءِ التي ترفعُها الرياحُ وتخفضُها ويتجمدُ عليها طبقات من الجليد إلى أنْ تصلَ إلى حبةِ البردِ ذات الحجم المناسب لتسقط إلى الأرض.
من المناسب هنا أن نذكرَ بعض الأوراق البحثية الأكاديمية التي نُشرت والتي تبحثُ في هذه المسألة:
كتاب بعنوان: التحدي الأكبر مسألة 3x+1
أورد الكاتبُ في هذا الكتاب جُلَّ ما كُتِبَ بخصوصِ هذه المسألةِ حتى عام 2010، من تأريخها والمفاهيم التي عُرِفًت بسببها وقد ذكر أشكالاً أخرى للمسألة، ما يُمكِّن الدارسين من فهم أعمق للمسألة. وقد ورد في هذا الكتاب أنَّ الأعداد جميعها التي تقلُّ عن 2^62 قد جُرِّبت وجميعُها وصلَ إلى الرقم 1. لقد بحثَ الكاتبُ في سببِ صعوبةِ الوصول إلى برهان يشملُ الأعداد الصحيحة جميعها كما شرحَ تصنيفات للأعدادِ التي تتسارعُ والتي تتباطأ في الوصولِ إلى نهايتِها المحتومة.
ورقةٌ بحثيةٌ قدَّمها جوناس كيسر (Jonas Kaiser) وقد نُشرت في مطلعِ شهرِ آب 2016.
تبحثُ هذه الورقةُ عن الشرطِ الكافي للأعداد الأولية بالاعتماد على مصفوفات بناها، واختزالها معتمداً على خوارزمية كولاتز (Collatz Algorithm).
ولا بدَّ من الإشارة هنا إلى أنَّ هذه الورقة قد اعتمدت على المصفوفاتِ اللامتناهية وأنَّ الرياضيات المُستَعملة قد تبدو معقدة للقارئ غير المختص.
ورقةٌ أخرى بحثت في الأعدادِ الواردةِ في المتتاليةِ وقد نشرها د. مارك تشامبيبرلاند (Marc Chamberland) المحاضرُ في جامعة أيوا الأمريكية في 2003 .
في هذه الورقة أوردَ الباحثُ شرحاً وافياً لبيانِ كولاتز ( Collatz Graph) والذي يظهر فيه أنَّ الأرقام جميعها التي دُرِسَت تنتهي إلى الرقم 8 ثم إلى الرقم 4 ومنه إلى الرقم 2 و أخيراً إلى الرقم 1.
وذكر تعميمات كثيرة لتلكَ المتتالية لتشْمَلَ الأعداد الصحيحة جميعها بما في ذلكَ الأعداد السالبة، وأوردَ أوراقاً بحثيةً مهمةً تدرسُ النمَطَ الذي ينشأُ في حال الأعداد الكسرية. ومن ضِمْنِ مراجعه التي بلغت 89 دراسةً لدوال ومتتاليات يمكن تطبيقها على الأعداد الحقيقيةِ وحتى العقدية.
وفي النهاية، هل تعلمُ أنَّ مثلَ هذه المتتاليةِ لن تكونَ بهذهِ الروعةِ لو أنَّنا غيَّرنا الدالةَ المُرتَبِطةَ بالأعدادِ الفردية من 3x+1 إلى 3x-1 .
عزيزنا القارئ قد لا تكونُ مختصاً بالرياضيات لكي تتعمق بهذه الخواص، ولكن لا تحرم نفسَكَ من تجربة بعض الأرقام وترى كيفَ أنَّ هذه الأعداد تصعدُ وتهبطُ إلى أنْ تنتهي إلى الرقم 1.
سنختم مقالنا هذا بالحقائقِ العامة الآتية:
الأعداد جميعها التي تقلُّ عن 1،152،921،504،606،846،976 تنتهي إلى الرقم 1.
العددُ الصحيح – أصغر مئة مليون - يملكُ أكبر عدد من الخُطوات للوصولِ إلى الرقم 1 هو 63،728،127 وهو يصلُ إلى الرقم 1 بعد 949 خطوة.
يمكنك أن تستمِعَ إلى مقطوعةٍ موسيقية مؤلَّفة من الأعداد الواردة من المتتالية من الموقع هنا .
تنويه: بدأت المسألة مع دالة بفرعين فرعها الثاني لا يحوي تقسيم اثنين: بين عامَيّ 1976 وَ 1979 عدَّل العلماء الصيغة بإضافة عملية القسمة إلى الفرع الثاني كون العملية تختصر الخطوة التالية من الحسابات عندما يكون العدد فردي، فحتماً ناتج العملية 3n+1 هو عدد زوجي أيًّا كان العدد n وبذلك نحتاج في الخطوة التالية تقسيم الناتج على العدد 2 أي نُفِّذت خطوتان في خطوة واحدة كل مرة.
المصادر:
[1] هنا
[2] هنا
[3] هنا
[4] هنا