كيف تهبط القطط على قدميها في عيون الرّياضيات؟

استمع على ساوندكلاود 🎧

كلّنا نعرِف أنّ القطط ماهرةٌ في السّقوط، فمهما كان المكان عالياً نراها تَقْلِب جسمَها ثمّ تسقطُ على قدميها ببراعةٍ. في هذه الصّور تبدو القطّة وكأنّها تقوم بفَتْل جسمِها وفي هذه الحالة تقول قوانين الفيزياء أنّ العزمَ الزّاويَّ يجب أن يبقى مصوناً ولا يمكن للقطط طبعاً أن تخرق قوانين الفيزياء، فكيف إذاً تستطيع القطط أن تتقلّب دون عزمٍ زاويٍّ؟

يتمّ اعتبارُ جسم القطّة على أنّه عبارة عن اسطوانتين متماثلتين مرتبطتين بمفصل، بحيث يمكن للمفصلِ أن ينحني دون أن يلتوي.

ويُعطى شكل القطّة بالزّاويتين (θ،ψ)، تمثّل ψ الزّاوية بين نصفيّ جسم القطّة وتُعبّر θ عن اتجاه قدميّ القطّة أي تكون مساوية للصّفر عندما تكون قدميّ القطّة ويديها أقربَ ما يمكن لبعضها. وتَغَيُّر الزّاوية θ يُعبّر عن دوران جسم القطّة حول محور المفصل.

نلاحظ مثلاً الأوضاع التّالية لجسم القطّة:

في الشّكل (1) تكون الزّاويتان (θ،ψ)=(π2،0)

أمّا في الشّكل (2) تكون الزّاويتان (θ،ψ)=(3π2،π)

وفي الشّكل (3) تكون الزّاويتان (θ،ψ)=(2π3،π4).

كيف تتحرّك القطّة إذاً؟

كما تكلّمنا سابقاً لايوجد عزمٌ زاويٌّ، إذاً على القطّة أن تُغيّر شكلها لكي تكون قادرةً على الفَتْلِ وذلك لأنّها عندما تُغيّرُ شكلَها سيقوم الجسم بالفَتْلِ ليُلْغي العزمَ الزّاويَّ النّاتج عن التّغيُّر في الشّكلِ.

لنأخذ التّغيّرات الّتي تطرأ على كلٍّ من الزّاويتين θو ψ. يملك نصفيّ جسم القطّة عزماً زاويّاً خاصاً بكلٍّ منهما ويكون العزمان متعاكسين دائماً ولكنّ التّغيّر في الزّاوية ψ لوحدِه لايتسبب بفَتْلِ جسم القطّة. أمّا عندما تتغيّر θ فإنّ نصفيّ جسم القطّة الأماميّ والخلفيّ سيدوران حول المفصل المُنحني ويكون شعاعُ إجماليّ العزم الزّاويّ موازٍ لمحور y، كما أنّ حجم إجماليّ العزم الزّاويّ يعتمد على ψ ومعدّل الدّوران المطلوب للتّعويض هو:

والسّؤال الآن: كيف تقوم القطّة بذلك؟ إليك الخطوات:

أولاً تنحني للأمام، ثم تُؤرجح قدمَيها إلى أن تتوضَّعَ في مكانٍ صحيحٍ ولاحظ أنّ ظهرَها سيكونُ مقوّساً حينها، ثمّ تصبح جاهزةً لتحني ظهرَها وتجهّز نفسها للهبوط على الأرض.

ولهذا نرى القطط تتسلّق الأشجار وتقفز إلى أماكن عاليةٍ جداً دون خوف، فهي لو سقطت ستعرف كيف تهبِط دائماً على قدميها.