الرياضيات > الرياضيات
مفهوم الاحتمال والأحداث المستقلة
هو إمكانيّة وقوع أمرٍ ما لسنا على ثقةٍ تامةٍ بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسيّاً في حياتنا اليوميّة بالتّنبّؤ بإمكانيّة وقوع حدثٍ ما، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصّفر والواحد الصّحيح، الصّفر هو قيمة الاحتمال المستحيل في حين أنّ الواحد الصّحيح هو قيمة الاحتمال المؤكّد.
وإنّ الحدث العشوائيّ هو كلّ إجراءٍ نقوم به، نعلم جميع نتائجه الممكنة دون أن نعلم أيٌّ منها سيقع.
إنّ الحياةَ مليئةٌ بالأحداث العشوائيّة! وحتّى تكون شخصاً ذكيّاً وناجحاً يجب أن تملك قدرةً ما تُخبرك باحتمال وقوع حدثٍ أو عدم وقوعه.
من مِنّا لم يلعب مع صديقه لُعبةَ رمي قطعةَ النّقودِ ومحاولةَ معرفةِ الوجهِ الّذي ستسقط عليه القطعة ( شعارٌ أم كتابة)، و أيضاً رمي حجر النّرد واليانصيب وغيرها، كلّ ذلك أمثلةً على الأحداثِ العشوائيّة.
في بعض الأحيان يمكن لوقوع حدثٍ ما أن يؤثّر على وقوع الحدث التّالي أو عدم وقوعه، فمثلاً عند سحب كرةٍ بلونٍ معيّنٍ من وعاءٍ يحوي كراتٍ ملونةً فكلَّما سُحِبَت كرةٌ ينقُصُ العدد الكليُّ للكراتِ وبالتّالي تتغير الاحتمالات حسبَ القانون المذكور سابقاً، وتُسمّى تلك الأحداثُ بالأحداثِ المرتبطة وذلك لأنّ ما يحدث يعتمدُ على ما حدثَ من قبل.
وتكون الأحداثُ مستقلّةً عندما لا يتأثّر الحدث الحاليّ بحدثٍ يسبقه. مثلاً عند رمي قطعةَ نقودٍ مرّتين متتاليتين فإنّ النّتيجة في الرّميّة الثّانية لا تتعلق بالنّتيجة في الرّميّة الأولى. وعندما تتوقّع ظهورَ الشّعار في رميتك فهي تعتمد على حظّك بالتّأكيد وذلك لأنّ احتمال ظهورِ شعارٍ أو كتابةٍ متساوٍ تماماً.
قانون حساب الاحتمال :
احتمال وقوع حدثٍ ما هو النّسبة بين عدد الطّرق الّتي يمكن أن يقع بها الحدث إلى عدد النّتائج الكليّ.
مثال1: ماهو احتمالُ الحصول ِعلى شعارٍ عند رمي قطعةَ نقودٍ مرةً واحدةً؟
لنفرض بدايةً أنّ الرّمز H هو حدث ظهور الشّعار والرّمز T هو حدث ظهور الكتابة.
إنّ عدد الطّرق الّتي يمكن أن يقع بها الحدث (ظهور الشّعار) هو 1 وعدد الأحداث المتَوقّعة الكليّة هو 2 (إمّا شعارٌ أو كتابةٌ و هو يُسمّى بفضاء الأحداث هنا )، إذاً الاحتمال هو ½ .
مثال2: ماهو احتمال الحصول على الرّقم 4 أو الرّقم 6 عند رمي حجر نردٍ لمرّة واحدة؟
إنّ عددَ المرّاتِ الّتي يمكن أن يقع بها الحدث المطلوب (ظهور 4 أو 6) هو 2 وعدد الأحداث المُتوقّعة الكليّة للتّجربة هو 6 وبالتّالي فإنّ الاحتمال هو 2/6=1/3.
طرق عرض الاحتمالات :
كما ذكرنا سابقاً فإنّ قيمة الاحتمال تنحصر بين الصّفر و الواحد الصّحيح، الصّفر هو احتمال الحدث المستحيل في حين أنّ الواحد الصّحيح هو احتمال الحدث المؤكد كما في الشّكل التّالي:
و يُعَبَّرُ عن قيمة الاحتمال بالكتابة العشريّة أو الكسريّة (كنسبةٍ) أو كنسبةٍ مئويّةٍ كما هُوَ موضّح:
الكتابة العشريّة: 0.5
الكتابة الكسريّة (نسبة): ½
أما كنسبة مئويّة: 50%
و أحياناً يُعبّر عنه بالطّريقة : 1 من 2.
لكن ماذا لو كنّا نريد حساب احتمال عدة أحداثٍ متتاليةٍ، فمثلاً في تجربة رمي قطعة نقودٍ ثلاثَ مراتٍ نريد حساب احتمال ظهور الشّعار H في المرّات الثّلاث (وهي ثلاثةُ أحداثٍ مستقلة كما ذكرنا سابقاً فوقوع أحدها لايؤثّر على وقوع التّالي) .
نعلم أنّه لكلّ رميّةٍ لقطعةِ النّقود فإنّ احتمال ظهورِ الشّعار هو ½ ومنه :
وبالتّالي فإنّ احتمال الحصول على الشّعار في ثلاث رمياتٍ متتاليةٍ هو 0.125 .
وبشكلٍ مشابهٍ يكون احتمال الحصول على شعارٍ عند رمي قطعة النّقود هو 1⁄2 و بالتّالي احتمال الحصول على شعارٍ في 7 مرّاتٍ متتاليةٍ هو بعيد أو ( غير مرجح) حيث يكون الاحتمال المطلوب هو:
0.0078125=1⁄2×1⁄2×1⁄2×1⁄2×1/2×1⁄2×1/2
وهي نسبة صغيرة جداً مقارنة بالنّسبة السّابقة.
و لكن إذا كان السّؤال كما يلي : إذا حصلنا على الشّعار في 6 رمياتٍ متتاليةٍ، فماهو احتمال الحصول على الشّعار في الرّمية السّابعة ؟ فكر قليلاً ...
حسناً: الإجابة هي 1⁄2 وذلك لأنّ الأحداث مستقلةٌ ولا تتعلّقُ ببعضها البعض والنّتيجة في الرّمية السّابقة لا تؤثر على نتيجة الرّمية الّتي تليها .
يُستَخدم الرّمز P في التّعبير عن احتمال وقوع حدثٍ ما.
ومن أجل حدثين مستقلّين A و B فإنّ احتمال وقوع الحدث ( A و B ) ونُرّمزه ( A∩B ) يساوي احتمال وقوع الحدث A مضروباً باحتمال وقوع الحدث B أي أنّ:
p(A∩B)= p(A) × p(B)
مثال:
دعاك أحد أصدقائك إلى مشاهدة فيلمٍ معه في منزله، وقد قال لك أنّه في يوم العطلة يُعرَض الفيلم بين السّاعةِ الرّابعة مساءً ومنتصف الليل، ولم يقل أكثرَ من ذلك. ياله من صديقٍ كتوم.
السّؤال هنا ماهو احتمال أن يبدأ الفيلمُ في يوم السّبت بين السّاعة السّادسة والثّامنة مساءً ؟
لاتقلق إنّها ليست مسألةً معقدةً وسنحلّها خطوةً خطوة. انظر للصّورة المُرفقة وفكّر قليلاً:
أولاً اليوم: بما أنّ هناك يومين لعطلةِ نهاية الأسبوع وهما يوميّ الجمعة والسّبت فإنّ احتمال عرض الفيلم في يومِ السّبت هو:
p(S)= 1⁄2
حيث Sهو حدث عرض الفيلم يومَ السّبت.
ثانياً الوقت: هناك 8 ساعات بين السّاعة الرّابعة ومنتصف الليل، وهناك ساعتان فقط بين السّاعة السّادسة مساءً والثّامنة مساءً وبالتّالي يكون احتمال عرض الفيلم بين السّاعة السّادسة والسّاعة الثّامنة هو:
p(T)=2⁄8
حيث T هو حدث عرض الفيلم بين السّاعة السّادسة والسّاعة الثّامنة.
ومنه يكونُ الحلُّ النّهائيّ للمسألة هو :
p(S∩T)= p(S) × p(T)= 1⁄2 × 2⁄8= 0،125
حيث (S∩T) هو حدثُ عرضِ الفيلم يوم السّبت بين السّاعة السّادسة والثّامنة.
ومنه يكون الاحتمال المطلوب يساوي 0.125.
مثال آخر :
تخيّل أنّ هناك مجموعتين من الأشخاص بحيث :
1- أنت في مجموعةٍ تحوي 5 أشخاص.
2- يتمُّ اختيارُ شخصٍ عشوائيّاً من المجموعة ليفوزَ وينتقلَ إلى المرحلةِ الثّانيةِ الّتي يتنافس فيها الشّخصان المُختاران من المجموعتين .
3- واحدٌ فقط من بين الشّخصَين المختارَين هو الرّابح بجائزةٍ كبيرةٍ.
والسّؤال: ماهو احتمالُ حصولك على الجائزة الكبيرة؟؟
الحل:
احتمال أن يتمَّ اختيارك من مجموعتك هو 1⁄5
واحتمال اختيارك من المجموعة الثّانية للوصول إلى الجائزة الكبرى هو 1⁄2
إذاً احتمال حصولك على الجائزة الكبرى هو :
1⁄5×1⁄2=1⁄10
أي أنّ احتمال ربحك هو 0.1 .
المصادر: